Satz von Matsumoto

Der Satz von Matsumoto ist ein Lemma aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie, er gibt eine explizite Beschreibung für die zweite algebraische K-Theorie eines Körpers an. Der Satz ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Matsumoto Hideya.

Satz von Matsumoto

Es sei $F$ ein Körper und $K_2(F)$ seine zweite algebraische K-Theorie, dann gilt:

$K_2(F)=F^{\times }{\otimes }_{𝐙}{F}^{\times }/⟨a\otimes (1-a)\mid a=0,1⟩.$.

Anders gesagt: $K_2(F)$ ist isomorph zum Kokern der Dehn-Invariante

$D:\mathbb{Z}[F\setminus \{0,1\}]\to F^{\times }{\otimes }_{𝐙}{F}^{\times }$

$D(a):=a\otimes (1-a)$

Milnors K-Theorie (Historie)

Motiviert durch den Satz von Matsumoto definierte Milnor die später nach ihm benannte Milnors K-Theorie $K^M(F)$ von Körpern durch

$K_{*}^M(F):=T^{*}{F}^{\times }/(a\otimes (1-a))$,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe F^× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

$a\otimes (1-a)$

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Es gibt eine Abbildung

$K_n^M(F)\to K_n(F),$

die für $n=0,1$ und nach dem Satz von Matsumoto auch für $n=2$ ein Isomorphismus ist.

Für $n>2$ ist $K_n^M(F)\to K_n(F)$ jedoch kein Isomorphismus, der Kokern

$K_n^{ind}(F):=\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}(K_n^M(F)\to K_n(F))$

ist die sogenannte indekomposable K-Theorie, die im Fall von Zahlkörpern gleich $K_n(F)$ ist.

Für $n=3$ ist $K_3^{ind}(F)$ modulo 2-Torsion zur Bloch-Gruppe isomorph.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. (= Graduate Texts in Mathematics. 147). Springer Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-94248-3.
• H. Matsumoto: Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. In: Ann.Sci.École Norm.Sup. Serie 4, Band 2, 1969, S. 1–62. (franz.)

Weblinks

• Dalawat: Some aspects of the functor K₂ of fields