Hilbertalgebra

Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra $A$ über dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution $x\mapsto x^{*}$ und einem Skalarprodukt $⟨\cdot |\cdot ⟩$, das $A$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $⟨x|y⟩=⟨y^{*}|x^{*}⟩$ für alle $x,y\in A$
• $⟨xy|z⟩=⟨y|x^{*}z⟩$ für alle $x,y,z\in A$
• Für jedes $x\in U$ ist die Abbildung $A\to A,y\mapsto xy$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
• Aus $⟨xy|z⟩=0$ für alle $x,y\in A$ folgt $z=0$.

Im Folgenden sei $H$ der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von $A$ ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung $J:H\to H$ fortsetzt, für die

$J^2={\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$ und $⟨Jx|Jy⟩=⟨y|x⟩$ für alle $x,y\in H$

gilt, man nennt $J$ die kanonisch durch $A$ definierte Involution auf $H$.

Die Abbildungen $y\mapsto xy$ und $y\mapsto yx$ setzen sich für jedes $x\in A$ zu stetigen linearen Operatoren $U_x:H\to H$ und $V_x:H\to H$ fort, so dass gilt:

$x\mapsto U_x$ ist ein involutiver Homomorphismus

$x\mapsto V_x$ ist ein involutiver Antiomomorphismus

$U_x{V}_y=V_y{U}_x$ für alle $x,y\in A$

$J{U}_{x}J=V_{x^{*}}$ und $J{V}_{x}J=U_{x^{*}}$ für alle $x\in A$

Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von $\{U_x|x\in A\}$ und $\{V_x|x\in A\}$ werden mit $U=U(A)$ und $V=V(A)$ bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $A$. Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$ enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.

Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form $U(A)=$ ist.

Beispiel

Die H*-Algebra Algebra $A$ der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum $H$ ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet $\bar{H}$ den konjugierten Hilbertraum, so ist $A$ isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt $\bar{H}\otimes H$. Für $\xi ,\eta \in H$ ist $\xi \otimes \eta$ der eindimensionale Operator $H\to H,(\xi \otimes \eta )\zeta :=⟨\zeta ,\eta ⟩\xi$, wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist

$({\xi }_1\otimes {\eta }_1)({\xi }_2\otimes {\eta }_2)\zeta =({\xi }_1\otimes {\eta }_1)(⟨\zeta ,{\xi }_2⟩{\eta }_2)=⟨\zeta ,{\xi }_2⟩⟨{\eta }_2,{\xi }_1⟩{\eta }_1=⟨{\eta }_2,{\xi }_1⟩({\xi }_2\otimes {\eta }_1)\zeta$

und daher

$({\xi }_1\otimes {\eta }_1)({\xi }_2\otimes {\eta }_2)=⟨{\eta }_2,{\xi }_1⟩({\xi }_2\otimes {\eta }_1)$,

also

$U_{{\xi }_1\otimes {\eta }_1}({\xi }_2\otimes {\eta }_2)=⟨{\eta }_2,{\xi }_1⟩({\xi }_2\otimes {\eta }_1)={\xi }_2\otimes (⟨{\xi }_1,{\eta }_2⟩{\eta }_1)$

$={\xi }_2\otimes (({\xi }_1\otimes {\eta }_1){\eta }_2)=({\mathrm{i}\mathrm{d}}_H\bar{\otimes }({\xi }_1\otimes {\eta }_1))({\xi }_2\otimes {\eta }_2)$,

wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man

$U(A)=ℂ\cdot 1_{\bar{H}}\bar{\otimes }L(H)$

ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren ${\xi }_1\otimes {\eta }_1$ liegen dicht in den jeweiligen Algebren.

Semiendliche Von-Neumann-Algebren

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren. Ist $A$ eine Hilbertalgebra, so ist durch $\varphi (U_a^{*}{U}_a):=⟨a|a⟩$ eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die $U(A)$ zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt $U$ eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist $A:=\{a\in U|\varphi (a^{*}a)<\mathrm{\infty },\varphi (a{a}^{*})<\mathrm{\infty }\}$ mit dem durch $⟨a|b⟩:=\varphi (b^{*}a)$ definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $U$ isomorph ist.

Verallgemeinerte Hilbertalgebra

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra $A$ über dem Körper $ℂ$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution $x\mapsto x^{*}$ und einem Skalarprodukt $⟨\cdot |\cdot ⟩$, das $A$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die Abbildung $x\mapsto x^{*}$ ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung $H$.
• $⟨xy|z⟩=⟨y|x^{*}z⟩$ für alle $x,y,z\in A$
• Für jedes $x\in U$ ist die Abbildung $A\to A,y\mapsto xy$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
• Aus $⟨xy|z⟩=0$ für alle $x,y\in A$ folgt $z=0$.

Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.

Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung $A\to A$, $x\mapsto x^{*}$ abschließbar ist, das heißt aus $x_n\to 0$ und $x_n^{*}\to z$ bereits $z=0$ folgt. Für jedes $y\in A$ folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra

$⟨z,y⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n^{*},y⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨y^{*},x_n⟩=⟨y^{*},0⟩=0$

und daher $z=0$, denn $y\in A$ war beliebig, das heißt $z$ steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.

Wie oben setzen sich die Abbildungen $y\mapsto xy$ zu Operatoren $U_x$ auf $H$ fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von $A$. Der Abschluss $S$ der Abbildung $x\mapsto x^{*}$ heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung $S=J\mathrm{\Delta }$ führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.

Eine beliebige Von-Neumann-Algebra $U$ hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht $\omega$. Dann ist $A:=\{a\in U|\omega (a^{*}a)<\mathrm{\infty },\omega (a{a}^{*})<\mathrm{\infty }\}$ eine verallgemeinerte Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $U$ isomorph ist.