Hilbert-Schmidt-Operator

In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

Motivation und Definition

Seien $(e_i{)}_i$ und $(f_i{)}_i$ zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum $H$. $A$ sei ein stetiger linearer Operator auf $H$ und $A^{*}$ sein adjungierter Operator. Dann gilt

$\sum _i\Vert A{e}_i{\Vert }^2=\sum _{i,k}|⟨A{e}_i,f_k⟩{|}^2=\sum _{i,k}|⟨e_i,A^{*}{f}_k⟩{|}^2=\sum _k\Vert A^{*}{f}_k{\Vert }^2$.

Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen, $(e_i{)}_i=(f_i{)}_i$, verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man $A$ durch $A^{*}$ ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort $A$ durch $A^{*}$ bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet $A^{**}=A$, so erkennt man, dass die Größe $\sum _i\Vert A{e}_i{\Vert }^2$ unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt $A$ ein Hilbert-Schmidt-Operator und

$\Vert A{\Vert }_2:={(\sum _i\Vert A{e}_i{\Vert }^2)}^{\frac{1}{2}}$

ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt $\Vert A{\Vert }_2$ findet man auch die Schreibweise $\Vert A{\Vert }_{HS}$.

Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf $H$, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit $HS(H)$ bezeichnet.

Ein Operator $A:H_1\to H_2$ zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn $\sum _i\Vert A{e}_i{\Vert }^2$ für eine Orthonormalbasis $(e_i{)}_i$ von $H_1$ endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit $\Vert A{\Vert }_{HS}$.

Unendliche Matrizen

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf $H$ als unendliche Matrix $(a_{i,j}{)}_{i,j}$ mit $a_{i,j}=⟨A{e}_j,e_i⟩$ auffassen. $A$ ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn $A{e}_i$ wird auf $\sum _j⟨A{e}_i,e_j⟩e_j$ abgebildet. Es gilt $\sum _{i,j}|a_{i,j}{|}^2=\Vert A{\Vert }_2^2$. Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt $\Vert AB{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_2\Vert B{\Vert }_2$. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

Integraloperatoren

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich $T\in L(L^2([0,1]),L^2([0,1]))$ ein beschränkter Operator von $L^2([0,1])$ nach $L^2([0,1])$, dann kann gezeigt werden, dass $T$ genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern $k\in L^2([0,1]\times [0,1])$ gibt mit

$T(x)(s)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(s,t)x(t)\mathrm{d}t$

fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von $T$ und die $L^2$-Norm von $k$ überein, es gilt also

$\Vert T{\Vert }_{HS}={(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}|k(s,t){|}^2\mathrm{d}s\mathrm{d}t)}^{\frac{1}{2}}=\Vert k{\Vert }_{L^2}.$

Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

HS(H) als Hilbertraum

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind $A$ und $B$ zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch $⟨A,B⟩:=Sp(B^{*}A)$ ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. $HS(H)$ wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist $\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{⟨A,A⟩}$, d. h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

HS(H) als Banachalgebra

Die Operatoren-Algebra $HS(H)$ ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung $\Vert AB{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_2\Vert B{\Vert }_2$ gleichzeitig eine Banachalgebra. $HS(H)$ ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra $B(H)$ aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt $\Vert BAC{\Vert }_2\le \Vert B\Vert \cdot \Vert A{\Vert }_2\cdot \Vert C\Vert$ für alle $A\in HS(H)$, $B,C\in B(H)$. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist $HS(H)$ auch ein zweiseitiges Ideal in der C^*-Algebra $K(H)$ der kompakten Operatoren auf $H$, $HS(H)$ liegt dabei dicht in $K(H)$ bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse $N(H)$ ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in $HS(H)$ enthalten. Man hat daher die Inklusionen

$N(H)\subset HS(H)\subset K(H)\subset B(H)$.

Außer $\{0\}$ und sich selbst enthält $HS(H)$ keine weiteren $\Vert \cdot {\Vert }_2$-abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H^*-Algebren.

Siehe auch

• Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Spezialfall einer Schatten-Klasse.

Literatur

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983