SL(2,R)

Vorlage:Dieser Artikel Die spezielle lineare Gruppe $SL (2, ℝ)$ oder ${SL}_{2} (ℝ)$ ist die Gruppe der reellen $2 \times 2$ -Matrizen mit Determinante 1:

SL (2, ℝ) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) : a, b, c, d \in ℝ und a d - b c = 1} .

Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Darstellungstheorie

Für jede natürliche Zahl $d$ gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, $(d + 1)$ -dimensionale irreduzible Darstellung der $SL (2, ℝ)$ . Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei

V_{d} = {f (x, y) = a_{0} x^{d} + a_{1} x^{d - 1} y + a_{2} x^{d - 2} y^{2} + \dots + a_{d - 1} x y^{d - 1} + a_{d} y^{d} : a_{0}, \dots, a_{d} \in ℝ}

der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad $d$ in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist $(d + 1)$ -dimensional und $A \in SL (2, ℝ)$ wirkt durch

(A f) (x, y) : = f (A^{- 1} (x, y)) .

Die Veronese-Einbettung $ν_{d} : ℝ P^{1} \to ℝ P^{d}$ ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung $SL (2, ℝ) \to SL (d + 1, ℝ)$ .

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der $SL (2, ℝ)$ werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.

Lie-Algebra

Vorlage:Hauptartikel $SL (2, ℝ)$ ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien $2 \times 2$ -Matrizen

𝔰 𝔩 (2, ℝ) = {A \in Mat (2, ℝ) : Sp (A) = 0}

.

Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes $𝔰 𝔩 (2, ℝ)$ ist zum Beispiel

H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), X = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), Y = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

mit den Kommutator-Relationen

[H, X] = 2 X, [H, Y] = - 2 Y, [X, Y] = H

.

Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von $H$ , die andere von $X - Y$ .

Die Killing-Form ist $B (V, W) = 4 Sp (V W)$ . Sie ist negativ definit auf dem von $X - Y$ erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von $H$ und $X + Y$ erzeugten Unterraum.

Lineare Algebra

Matrizen aus $SL (2, ℝ)$ entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums $ℝ^{2}$ . Die Matrix $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ wirkt durch

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix}) .

Matrizen aus $SL (2, ℝ)$ erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des $ℝ^{2}$ .

Klassifikation der 2×2-Matrizen

Die Eigenwerte einer Matrix $A \in SL (2, ℝ)$ sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

λ^{2} - S p (A) λ + 1 = 0

und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als

λ = \frac{S p (A) \pm \sqrt{S p (A)^{2} - 4}}{2}

.

Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:

Wenn $| Sp (A) | < 2$ , dann ist $A$ eine elliptische Matrix.
Wenn $| Sp (A) | = 2$ , dann ist $A$ eine parabolische Matrix.
Wenn $| Sp (A) | > 2$ , dann ist $A$ eine hyperbolische Matrix.

Elliptische Elemente

Elliptische Elemente sind von der Form

A (\begin{matrix} \cos ϕ & \sin ϕ \\ - \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix}) A^{- 1}

mit $ϕ \in ℝ / 2 π ℤ$ und $A \in SL (2, ℝ)$ .

Die Matrix $(\begin{matrix} \cos ϕ & \sin ϕ \\ - \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix})$ wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel $ϕ$ .

Parabolische Elemente

Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab.

Parabolische Elemente sind von der Form

\pm A (\begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}) A^{- 1}

mit $n \in ℝ$ und $A \in SL (2, ℝ)$ .

Die Matrix $(\begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix})$ wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.

Hyperbolische Elemente

Das Bild-Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.

Hyperbolische Elemente sind von der Form

A (\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{matrix}) A^{- 1}

mit $a \in ℝ ∖ {0}$ und $A \in SL (2, ℝ)$ .

Die Matrix $(\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{matrix})$ wirkt als Dehnstauchung, d. h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

Hyperbolische Geometrie

Matrizen aus $SL (2, ℝ)$ wirken auf der oberen Halbebene

ℍ = {x + i y | y > 0; x, y \in ℝ} \subset ℂ

durch

z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}

.

Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.

Weil $\pm I_{2}$ als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von $SL (2, ℝ)$ über

PSL (2, ℝ) = SL (2, ℝ) / {\pm I_{2}}

.

Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen

Die projektive Gerade $ℝ P^{1}$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im $ℝ^{2}$ . Die Wirkung von $SL (2, ℝ)$ auf $(ℝ^{2} ∖ {0})$ gibt eine wohl-definierte Wirkung von $PSL (2, ℝ)$ auf $ℝ P^{1}$ .

Durch $[x : y] \to \frac{x}{y}$ wird eine Bijektion zwischen $ℝ P^{1}$ und $ℝ \cup {\infty}$ definiert. Nach dieser Identifizierung von $ℝ P^{1}$ und $ℝ \cup {\infty}$ wirkt $PSL (2, ℝ)$ auf $ℝ \cup {\infty}$ durch gebrochen-lineare Transformationen

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) z = \frac{a z + b}{c z + d}

.

Die Veronese-Einbettung $ℝ P^{1} \to ℝ P^{n}$ ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung $SL (2, ℝ) \to SL (n + 1, ℝ)$ .

$ℝ P^{1} = ℝ \cup {\infty}$ ist auch der Rand im Unendlichen $\partial ℍ$ der hyperbolischen Ebene $ℍ$ . Die Wirkung von $P S L (2, ℝ)$ auf der Kompaktifizierung $ℍ \cup \partial ℍ$ der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in $ℍ$ , parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in $\partial ℍ$ , hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in $\partial ℍ$ .

Fuchssche Gruppen

Diskrete Untergruppen von $PSL (2, ℝ)$ bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe $Γ$ ist der Durchschnitt von $ℝ P^{1} = \partial ℍ$ mit dem Abschluss einer Bahn $Γ x$ , wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt $x \in ℍ$ ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz $ℙ^{1} (ℝ) = ℝ \cup {\infty}$ ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in $PSL (2, ℝ)$ , d. h. diskrete Untergruppen $Γ$ , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in $SL (2, ℝ)$ ist die modulare Gruppe $SL (2, ℤ)$ , die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe $Γ \subset PSL (2, ℝ)$ keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von $SL (2, ℝ)$ . (Satz von Culler)

Topologie

Die Kreis-Gruppe $SO (2)$ ist eine maximal kompakte Untergruppe von $SL (2, ℝ)$ . Die Untergruppe $SO (2)$ ist ein Deformationsretrakt von $SL (2, ℝ)$ , insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.

Die Fundamentalgruppe von $SL (2, ℝ)$ ist isomorph zu $ℤ$ , die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

Die universelle Überlagerung $\tilde{SL (2, ℝ)}$ von $SL (2, ℝ)$ ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe $GL (n, ℝ)$ isomorph ist.

Der Quotient $PSL (2, ℝ) = SL (2, ℝ) / (ℤ / 2 ℤ)$ ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene: $PSL (2, ℝ) = T^{1} ℍ$ .

Literatur

Serge Lang: SL₂(R) (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 105). Springer, New York NY u. a. 1985, ISBN 0-387-96198-4.
William P. Thurston: Three-dimensional geometry and topology (= Princeton Mathematical Series. Bd. 35). Band 1. Edited by Silvio Levy. Princeton University Press, Princeton NJ, 1997, ISBN 0-691-08304-5.

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