Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}=1,60669515241529176378...$ (Vorlage:OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$E=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}$

wobei σ₀(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet. Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist. Borwein zeigte 1992, dass allgemein

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^n-r}$     und     $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{q^n-r}$

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qⁿ irrational, aber nicht liouvillesch sind.

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:OEIS (Kettenbruchentwicklung von E)