Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{q^n}{1-q^n}$

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit $a_n=1$ für alle Werte n:

$L(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$

Eigenschaften

Konvergenz

Für $|q|=1$ konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für $|q|\ne 1$ konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergiert. Konvergiert ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle $q$, für die die Potenzreihe ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^n$ konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für $|q|<1$ in eine geometrische Reihe

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten $b_m$ der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von $a_n$ mit der konstanten Folge $1_{(n)}=1$ ergeben:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n$

Alternative Form

Setzt man $q=e^{-z}$, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{e}^{-mz},$

wieder mit

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n.$

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit $z=2\pi$, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_{2n}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{5}{\mathrm{\Phi }}^{2n}}{{\mathrm{\Phi }}^{4n}-1}=\sqrt{5}(L\left({\mathrm{\Phi }}^{-2}\right)-L\left({\mathrm{\Phi }}^{-4}\right))$

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P_{2n}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\sqrt{2}{(\sqrt{2}+1)}^{2n}}{{(\sqrt{2}+1)}^{4n}-1}=2\sqrt{2}(L\left({(\sqrt{2}-1)}^2\right)-L\left({(\sqrt{2}-1)}^4\right))$

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n+1}{2^{n^2}(2^n-1)}=L\left(\frac{1}{2}\right)$

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n+1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2^n-1}-\frac{2}{4^n-1})=L\left(\frac{1}{2}\right)-2L\left(\frac{1}{4}\right)$

Siehe auch

• Thetafunktion
• Elliptisches Nomen

Literatur

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• Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.