Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl $x,$ die ein Irrationalitätsmaß von $\mathrm{\infty }$ besitzt, also die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche $n$ ganze Zahlen $p$ und $q$ mit $q>1$ existieren, sodass gilt:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$

Irrationalität und Transzendenz

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl $x=\frac{c}{d}$ mit ganzzahligem Zähler $c$ und ganzzahligem Nenner $d>0$ gibt es eine ganze Zahl $n>0$ mit $2^{n-1}>d$ (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun $p$ und $q$ ganze Zahlen mit $q>1$ und $\frac{p}{q}\ne \frac{c}{d}$ sind, dann gilt:

$|x-\frac{p}{q}|=|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}|=\left|\frac{cq-pd}{dq}\right|\ge \frac{1}{dq}>\frac{1}{2^{n-1}q}\ge \frac{1}{q^n}$

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

$c=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{10^{j!}}=\frac{1}{10^1}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^{24}}+\cdots =0,1100010000000000000000010\dots$ (Vorlage:OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:EoM

Weblinks

• Vorlage:MathWorld