Moser-Ungleichung

Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der $L^2$-Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der $L^2$-Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

Mit $L^p({ℝ}^m)$ wird der $L^p$-Raum und mit $H^s({ℝ}^m)$ für $s\in \mathbb{N}$ der Sobolev-Raum der $L^2$-Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante $C_s\in {ℝ}_{>0}$ so, dass für alle Funktionen $f,g\in H^s({ℝ}^m)\cap L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$ und für jeden Multiindex $\alpha$ mit $\left|\alpha \right|=s$ die Ungleichung

$\Vert D^{\alpha }(f\cdot g){\Vert }_{L^2}\leqq C_s(\Vert f{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\Vert g{\Vert }_{L^2}+\Vert D^{s}f{\Vert }_{L^2}\Vert g{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}})$

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass $f$ einmal schwach differenzierbar ist, also $f\in H^s({ℝ}^m)\cap W^{1,\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$ gilt, wobei $W^{1,\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$ den Sobolev-Raum der $L^1$-Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung

$\Vert D^{\alpha }(fg)-f{D}^{\alpha }g{\Vert }_{L^2}\leqq C_s(\Vert D^{s}f{\Vert }_{L^2}\Vert g{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}+\Vert f{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\Vert D^{s-1}g{\Vert }_{L^2}).$

Die Funktion $g$ ist hier aus dem Raum und $H^{s-1}({ℝ}^m)\cap L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$.

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Beweisidee

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall $f,g\in C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)$. Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.