Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen $ℂ$-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Unteralgebra der Banachalgebra $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\to ℂ$ mit folgenden Eigenschaften:

• $1\in A$, das heißt $A$ enthält die konstante Funktion 1,
• $\mathrm{\forall }x=y\in X:\mathrm{\exists }a\in A:a(x)=a(y)$, das heißt $A$ trennt die Punkte von $X$

Man sagt dann kurz, $A$ sei eine Funktionenalgebra auf $X$.

Eine abgeschlossene Teilmenge $E\subset X$ heißt maximierend (für $A$), falls für alle Funktionen $a\in A$ Folgendes gilt: $\sup \{|a(x)|;x\in X\}=\sup \{|a(x)|;x\in E\}$.

Ist zum Beispiel $X=𝔻:=\{z\in ℂ;|z|\le 1\}$ die Kreisscheibe und $A$ die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf $𝔻$, die im Inneren ${𝔻}^{\circ }$ holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand $\partial 𝔻$ enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist $\partial 𝔻$ die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

• Sind $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A$ eine Funktionenalgebra auf $X$, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für $A$ nicht leer und wieder maximierend.

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra $A$, übliche Bezeichnungen sind $S(A),\check{S}(A)$ oder $\partial A$. Da maximierende Mengen Ränder sind, ist auch der Schilow-Rand ein Rand.

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei $A$ eine kommutative $ℂ$-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum $X_A$ ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation $A\to C(X_A)$ bildet $A$ auf eine Funktionenalgebra $\hat{A}$ auf $X_A$ ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra $\hat{A}$ wird Schilow-Rand von $A$ genannt und ebenfalls mit $S(A),\check{S}(A)$ oder $\partial A$ bezeichnet.

Beispiele

• Der Gelfand-Raum der Diskalgebra $A$ ist die Menge der Punktauswertungen ${\delta }_z:A\to ℂ,a\mapsto {\delta }_z(a):=a(z)$ und die Abbildung $𝔻\to X_A,z\mapsto {\delta }_z$ ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man $𝔻$ mittels dieses Homöomorphismus mit $X_A$, so $A=\hat{A}$ und es ist $\partial A=\partial 𝔻$.
• Sei $X:=\{(z,w)\in {ℂ}^2;|z|\le 1,|w|\le 1\}$ der Bizylinder mit Radius $(1,1)$. $A$ sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von $C(X)$. Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von $A$ die Menge der Punktauswertungen ${\delta }_x:A\to ℂ,a\mapsto a(x)$ für $x\in X$ ist und dass $X\to X_A,x\mapsto {\delta }_x$ eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben $X$ mit $X_A$ identifizieren. Dann kann man zeigen, dass $\partial A=\{(z,w)\in X;|z|=1=|w|\}$. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von $X$ in ${ℂ}^2$.
• Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A=C(X)$, so ist $\partial A=X_A$.

Bemerkungen

• Ist $A$ eine kommutative $ℂ$-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte $\hat{a}:X_A\to ℂ$, dass $\sup \{|\hat{a}(\phi )|;\phi \in X_A\}=\sup \{|\hat{a}(\phi )|;\phi \in \partial A\}$. Das folgt direkt aus den Definitionen, denn $\partial A$ ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra $\hat{A}$. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes. Darüber hinaus gilt folgende lokale Version des Maximumprinzips:

Ist   $U\subset X_A\setminus \partial A$   offen, so gilt für alle $a\in A$ und $\phi \in U$, dass $|\hat{a}(\phi )|\le \underset{\psi \in \partial U}{\sup }|\hat{a}(\psi )|$.

• Der Choquet-Rand ist stets als dichte Teilmenge im Schilow-Rand enthalten.

• Bekanntlich gilt für das Spektrum $\sigma (a)$ von $a\in A$ die Formel $\sigma (a)=\hat{a}(X_A)$. Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel $\partial \sigma (a)\subset \hat{a}(\partial A)$.