Polyzylinder

In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylinder oder Polykreis das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit $\mathrm{\Delta }(z,r)=\{w\in ℂ\mid |z-w|<r\}$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt $z=(z_1,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n$ mit dem Multiradius $r=(r_1,\dots ,r_n)$ gegeben als

$\mathrm{\Delta }(z_1,\dots ,z_n;r_1,\dots ,r_n):=\mathrm{\Delta }(z_1,r_1)\times \dots \times \mathrm{\Delta }(z_n,r_n)$

oder äquivalent als

$\{w=(w_1,\dots ,w_n)\in {ℂ}^n\mid |z_k-w_k|<r_k,k=1,\dots ,n\}.$

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das $<$-Zeichen durch $\le$ ersetzt:

$\bar{\mathrm{\Delta }}(z_1,\dots ,z_n;r_1,\dots ,r_n):=\{w=(w_1,\dots ,w_n)\in {ℂ}^n\mid |z_k-w_k|\le r_k,k=1,\dots ,n\}.$

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel $\{w\in {ℂ}^n\mid {\sum }_{j=1}^n|w_j-z_j{|}^2<r^2\}$ eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für $n>1$ sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.

Literatur

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969