Hardy-Raum

In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum $H^p$ ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von $ℂ$. Hardy-Räume sind die Entsprechungen der $L^p$-Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914 einführte.

Definition

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet $D\subset ℂ$ in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe

Sei $𝔻=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe in $ℂ$. Dann besteht für $p>0$ der Hardy-Raum $H^p(𝔻)$ aus allen holomorphen Funktionen $F:𝔻\to ℂ$, für die gilt

$\underset{0<r<1}{\sup }{\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|F(r{e}^{i\theta })|}^p\mathrm{d}\theta \right)}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „$H^p$-Norm“ von $F$ bezeichnet, in Symbolen $\Vert F{\Vert }_{H^p}$.

Für $p=\mathrm{\infty }$ setzt man $\Vert F{\Vert }_{H^{\mathrm{\infty }}(𝔻)}=\Vert F{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{z\in 𝔻}{\sup }|F(z)|$ und versteht unter $H^{\mathrm{\infty }}(𝔻)$ den Funktionenraum der beschränkten holomorphen Funktionen $F:𝔻\to ℂ$, also den Raum, für den diese Supremumsnorm der darin liegenden Funktionen $<\mathrm{\infty }$ ist.

Hardy-Räume auf der oberen Halbebene

Sei $ℍ=\{x+iy\in ℂ:y>0\}$ die obere Halbebene in $ℂ$. Dann besteht für $p>0$ der Hardy-Raum $H^p(ℍ)$ aus allen holomorphen Funktionen $F:ℍ\to ℂ$, für die gilt

$\underset{y>0}{\sup }{\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|F(x+iy)|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „$H^p$-Norm“ von $F$ bezeichnet, in Symbolen $\Vert F{\Vert }_{H^p(ℍ)}$.

Für $p=\mathrm{\infty }$ setzt man $\Vert F{\Vert }_{H^{\mathrm{\infty }}(ℍ)}=\underset{z\in ℍ}{\sup }|F(z)|$ und definiert $H^{\mathrm{\infty }}(ℍ)$ als Raum aller holomorphen Funktionen $F:ℍ\to ℂ$, für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen $H^p$ die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob $D=𝔻$ oder $D=ℍ$); üblicherweise ist es der Raum $H^p(𝔻)$ von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe $𝔻$.

Faktorisierung

Für $p\ge 1$ kann jede Funktion $f\in H^p$ als Produkt $f=Gh$ geschrieben werden, worin $G$ eine äußere Funktion und $h$ eine innere Funktion ist.

Für $H^p=H^p(𝔻)$ auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist $h$ eine innere Funktion genau dann, wenn $|h(z)|\le 1$ auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert

$\underset{r\to 1^{-}}{\lim }h(r{e}^{i\theta })$

für fast alle $\theta$ existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist. $G$ ist eine äußere Funktion, wenn

$G(z)=\exp (i\varphi +\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}g(e^{i\theta })\mathrm{d}\theta )$

für einen reellen Wert $\varphi$ und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion $g$.

Weitere Eigenschaften

• Für $1\le p\le \mathrm{\infty }$ sind die Räume $H^p$ Banachräume.
• Für $p>1$ gilt $H^p(𝔻)\cong L^p([0,1])$ und $H^p(ℍ)\cong L^p(ℝ)$.

• Für $1<p<q<\mathrm{\infty }$ gilt $H^{\mathrm{\infty }}(𝔻)\subset H^q(𝔻)\subset H^p(𝔻)\subset H^1(𝔻)$. Dabei sind alle diese Inklusionen echt.

Reelle Hardy-Räume

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume ${\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)$.

Definition

Sei $\varphi \in S$ eine Schwartz-Funktion auf ${ℝ}^n$ und ${\varphi }_t(x)=t^{-n}\varphi (t^{-1}x)$ für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei $f\in S^{\prime }$ eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion $m_{\varphi }(f)$ und die nicht-tangentiale Maximalfunktion $M_{\varphi }(f)$ definiert durch

$\begin{array}{cc}{m}_{\varphi }(f)(x)=& \underset{t>0}{\sup }|f*{\varphi }_t(x)|,\\ M_{\varphi }(f)(x)=& \underset{|y-x|<t<\mathrm{\infty }}{\sup }|f*{\varphi }_t(y)|.\end{array}$

Hierbei bezeichnet $*$ die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für $f\in S^{\prime }({ℝ}^n)$ und $0<p\le \mathrm{\infty }$, dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

1. $m_{\varphi }(f)\in L^p$ für ein $\varphi \in S$ mit $\underset{{ℝ}^n}{\int }\varphi \ne 0$,
2. $M_{\varphi }(f)\in L^p$ für ein $\varphi \in S$ mit $\underset{{ℝ}^n}{\int }\varphi \ne 0$,
3. $M_{\varphi }(f)\in L^p$ für jedes $\varphi \in S$ und $M_{\varphi }(f)$ ist in einer geeigneten Teilmenge $U\subset S$ gleichmäßig beschränkt in $\varphi$.

Man definiert den reellen Hardy-Raum ${\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)$ als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare Zerlegung

Insbesondere ${\mathscr{H}}^1({ℝ}^n)$-Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein ${\mathscr{H}}^p$-Atom ist für $p\le 1$ eine Funktion $a$, so dass gilt:

1. $a$ hat ihren Träger in einem Ball $B$;
2. $|a|\le \mu (B{)}^{-1/p}$ fast überall; und
3. $\underset{B}{\int }{x}^{\beta }a(x)\mathrm{d}\mu (x)=0$ für alle $\beta$ mit $|\beta |\le n(p^{-1}-1)$.

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung $\underset{{ℝ}^n}{\int }|a(x){|}^p\mathrm{d}x\le 1$ und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

$\underset{{ℝ}^n}{\int }(M_{\mathrm{\Phi }}(a)(x){)}^p\mathrm{d}x\le c$.

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für $f\in {\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)$ mit $p\le 1$ kann $f$ als Reihe von ${\mathscr{H}}^p$-Atomen $a_k$

$f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{a}_k$

geschrieben werden. Dabei ist $({\lambda }_k{)}_k$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\lambda }_k{|}^p<\mathrm{\infty }$. Die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{a}_k$ konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

$\Vert f{\Vert }_{{\mathscr{H}}^p}\le c{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\lambda }_k{|}^p)}^{1/p}$.

Verbindung zu den Hardy-Räumen

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall $1-1/n<p<\mathrm{\infty }$. Der interessante Fall $p=1$ wird also mit abgehandelt und für $n=1$ erhält man die ganze Spanne $0<p<\mathrm{\infty }$.

Seien

$u_0,u_1,\dots ,u_n:{ℝ}_{+}^{n+1}\to ℝ$

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

$\sum _{j=0}^n\frac{\partial u_j}{\partial x_j}=0$ und

$\frac{\partial u_j}{\partial x_k}=\frac{\partial u_k}{\partial x_j}$

für $0\le j,k\le n$ erfüllen.

Jede Funktion $u_j$ ist also eine harmonische Funktion und im Fall $n=1$ entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion $f=u_0+i{u}_1$ bezüglich der Variablen $x_1+i{x}_0$.

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion $u$ genau dann eine der drei äquivalenten $H^p$-Bedingungen, falls eine Funktion $F=(u,u_1,\dots ,u_n)$ existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche $L^p$-beschränkt ist, was

$\underset{x_0>0}{\sup }\underset{{ℝ}^n}{\int }|F(x,x_0){|}^p\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$

bedeutet.

Weitere Eigenschaften

• Für $1<p\le \mathrm{\infty }$ gilt analog ${\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)\cong L^p({ℝ}^n)$. Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden $L^p({ℝ}^n)$-Räumen identifiziert werden.
• Für den Fall $p=1$ kann man ${\mathscr{H}}^1({ℝ}^n)$ als echte Teilmenge von $L^1({ℝ}^n)$ auffassen.
• ${\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)\cap L_{loc}^1({ℝ}^n)$ liegt für $0<p<\mathrm{\infty }$ dicht in ${\mathscr{H}}^p({ℝ}^n)$.
• Der Hardy-Raum ${\mathscr{H}}^1({ℝ}^n)$ ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.

Anwendungen

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal $f$, das für alle $t\in ℝ$ von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal $F$ zu, so dass $f(t)=\mathrm{\Re }F(t)$. Ist $f\in L^2(ℝ)$, so ist $F\in H^2(ℍ)$ und

$F(t)=f(t)+ig(t).$

(Die Funktion $g$ ist die Hilberttransformierte von $f$). Beispielsweise ist für ein Signal $f(t)=A(t)\cos \phi (t)$, dessen zugeordnetes analytisches Signal $F\in H^2(ℍ)$ ist, durch $F(t)=A(t)e^{i\phi (t)}$ gegeben.

Literatur

• Joseph A. Cima and William T. Ross: The Backward Shift on the Hardy Space. American Mathematical Society 2000, ISBN 0-8218-2083-4.
• Peter Colwell: Blaschke Products - Bounded Analytic Functions. University of Michigan Press, Ann Arbor 1985, ISBN 0-472-10065-3.
• Peter Duren: Theory of $H^p$-Spaces. Academic Press, New York 1970.
• Kenneth Hoffman: Banach spaces of analytic functions. Dover Publications, New York 1988, ISBN 0-486-65785-X.
• Javier Duoandikoetxea: Fourier Analysis. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2001, S. 126, ISBN 0-8218-2172-5.
• Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5