Inklusionsabbildung

Zwei Beispiele für eine Inklusion. Bsp b) zeigt eine echte Inklusion.

Eine Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teil- in ihre Grundmenge einbettet.

Definition

Für Mengen $A$ und $B$ mit $A\subseteq B$ ist die Inklusionsabbildung $i:A\to B$ durch die Abbildungsvorschrift

$i(x)=x$

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol $\hookrightarrow$ zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann $i:A\hookrightarrow B$.

Man spricht von einer echten Inklusion, falls $A$ eine echte Teilmenge von $B$ ist, das heißt, wenn es Elemente in $B\setminus A$ gibt.

Im Fall mathematischer Strukturen ist die so definierte Abbildung einer Unterstruktur strukturtreu, d. h. ein Monomorphismus.

Eigenschaften

• Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.
• Ist $A=B$, so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.
• Eine beliebige Funktion $f:A\to B$ lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als $f=h\circ g$, wobei $g$ surjektiv und $h$ injektiv ist: Sei $C=\mathrm{im}f\subseteq B$ die Bildmenge von $f$ und $g:A\to C$ die Funktion, die auf $A$ mit $f$ übereinstimmt, also $g(x)=f(x)$. Für $h:C\to B$ nimmt man die Inklusionsabbildung.
• Ist $f:A\to B$ eine beliebige Funktion und $X$ eine Teilmenge der Definitionsmenge $A$, dann versteht man unter der Einschränkung $f{|}_X$ von $f$ auf $X$ diejenige Funktion $g:X\to B$, die auf $X$ mit $f$ übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion $i:X\to A$ lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

$f{|}_X=f\circ i$.

• Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung $i:A\hookrightarrow B$ als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen: $i=\left({\mathrm{id}}_B\right){|}_A$

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:PlanetMath