BMO-Raum

Der BMO-Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Abkürzung BMO steht für „Vorlage:Lang“. Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingeführt. Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy-Raum $H^1({ℝ}^n)$ (Charles Fefferman, Elias Stein 1972).

Definitionen

Sharp-Funktion

Sei $f\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^1({ℝ}^n)$ eine lokal integrierbare Funktion, so ist $f^{\mathrm{♯}}$ definiert durch

$f^{\mathrm{♯}}(x)=\underset{\{B|x\in B\}}{\sup }\frac{1}{\mu (B)}\underset{B}{\int }|f(y)-f_B|\mathrm{d}\mu (y),$

wobei das Supremum über alle Bälle $B$, welche $x$ enthalten, gebildet wird. Mit $f_B$ wird das Mittelwertintegral

$f_B=\frac{1}{\mu (B)}\underset{B}{\int }f(z)\mathrm{d}\mu (z)$

bezeichnet. Diese Funktion ist eine Maximalfunktion.

BMO-Raum

Eine lokal integrierbare Funktion $f$ heißt BMO-Funktion, falls $f^{\mathrm{♯}}$ beschränkt ist. Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{BMO}}=\Vert f^{\mathrm{♯}}{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}.$

Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre $\Vert .{\Vert }_{\mathrm{BMO}}$ nur eine Halbnorm, also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem Banachraum. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und $\log (|P|)$ für ein Polynom P, welches nicht identisch null ist.

Eigenschaften

John-Nirenberg-Ungleichung

Sei $f\in \mathrm{BMO}({ℝ}^n)$, dann existieren für jeden Ball $B\in {ℝ}^n$ zwei Konstanten $c_1(n),c_2(n)>0$, so dass

$\mu (\{x\in B:|f(x)-f_B|>t\})\le c_1\mu (B)\exp \left(\frac{-c_{2}t}{\Vert f{\Vert }_{\text{BMO}}}\right)$

für alle $t>0$. Die Ungleichung gilt nicht in jedem BMO-Raum. Gilt sie in dem Raum, so sagt man, dass dieser Raum die John-Nirenberg-Eigenschaft besitzt.

Dualität von H¹ und BMO

Charles Fefferman zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von $H^1$, dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen $f\in H^1$ und $g\in \mathrm{BMO}$ ist gegeben durch

$T_g(f)=(f,g)=\underset{{𝐑}^n}{\int }f(x)g(x)\mathrm{d}x$.

Dann ist die Abbildung $\mathrm{BMO}\to (H^1{)}^{\prime },g\mapsto T_g$ ein Banachraum-Isomorphismus (nicht isometrisch), in diesem Sinne ist $\mathrm{BMO}$ Dualraum von $H^1$.

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für $f\in H^1$ einen dichten Unterraum $H_a^1$, auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man dann das Funktional auf ganz $H^1$ fortsetzen. Als Raum $H_a^1$ kann man den Raum der H¹-Funktionen mit kompaktem Träger und mit $\underset{{ℝ}^{𝕟}}{\int }f(x)\mathrm{d}x=0$ wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für $f\in H^1$ und $g\in \mathrm{BMO}$ gilt:

$\underset{{𝐑}^n}{\int }f(x)g(x)\mathrm{d}x\le c\underset{{𝐑}^n}{\int }{M}_{\mathrm{\Phi }}(f)(x)\mathrm{d}x\underset{{ℝ}^n}{\int }{g}^{\mathrm{♯}}(x)\mathrm{d}x=c\Vert f{\Vert }_{H^1({ℝ}^n)}\Vert g{\Vert }_{\mathrm{BMO}}$.

Dabei ist $M_{\mathrm{\Phi }}(\cdot )$ die nicht-tangentiale Maximalfunktion.

Literatur

• Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5