Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) $r_k(n)$ ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.

Definition

Die ersten Werte von r_k (Primzahlen mit hellblauem Hintergrund)

n	n	r1(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)	r5(n)	r6(n)	r7(n)	r8(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	22	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2‧3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	23	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	32	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2‧5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	22‧3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2‧7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3‧5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	24	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2‧32	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	22‧5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136

Die Funktion ist für alle $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 0}$ und $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ definiert als

$r_k(n):=\sum _{\begin{array}{c}{a}_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2=n\\ (a_1,a_2,\dots ,a_k)\in {\mathbb{Z}}^k\end{array}}1=\left|\{(a_1,a_2,\dots ,a_k)\in {\mathbb{Z}}^k\mid a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2=n\}\right|,$

d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen mit $k\ge 1$ (für $r_2$ wird oft nur $r$ geschrieben). Beispielsweise gilt

$r_k(0)=1$

für alle $k$. Es ist

$r_2(1)=4$,

da $1=0^2+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+0^2$ mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch

$r_2(2)=4$

wegen $2=(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2$ mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist

$r_2(3)=0$,

weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

$r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^n{r}_k(t)r_m(n-t),$

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

$r_{k+1}(n)=r_k(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt{n}}{r}_k(n-t^2)$

Durchschnittliche Größenordnung

Es sei

$R_k(x):=\sum _{n=0}^x{r}_k(n)=\sum _{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2\le x}1$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer $k$-dimensionalen Kugel mit dem Radius $\sqrt{x}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

$R_k(x)=V_k{x}^{\frac{k}{2}}+O(x^{\frac{k-1}{2}})$,

wobei $O(.)$ das Landau-Symbol ist und die Konstanten $V_k$ die Volumina der $k$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

$V_2=\pi ,V_3=\frac{4}{3}\pi ,V_4=\frac{1}{2}{\pi }^2,\dots$

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_k(n)$ ist damit $\frac{k}{2}{V}_k{x}^{\frac{k}{2}-1}$, also z. B. $\pi$ die von $r_2(x)$.

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion $\vartheta (z,q)$ für den Spezialfall $z=0$. Dafür gilt

${\vartheta }_3(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=1+2q+2q^4+2q^9+2q^{16}+\cdots$

Man erhält daraus

$({\vartheta }_3(q){)}^k=\sum _{n_1,n_2,\dots ,n_k}{q}^{n_1^2+n_2^2+\cdots +n_k^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n\sum _{n_1^2+n_2^2+\cdots +n_k^2=n}1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{r}_k(n)$.

Spezielle Fälle

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Einige spezielle Formeln sind z. B. (für $n>0$):

Für $k=2$ gilt:

$r_2(n)=4\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1(\mathrm{mod}2)}}(-1{)}^{(d-1)/2}=4\sum _{d\mid n}\sin \left(d\frac{\pi }{2}\right)$

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung $n=2^g{p}_1^{f_1}{p}_2^{f_2}\cdots q_1^{h_1}{q}_2^{h_2}\cdots$, wobei $p_i$ die Primfaktoren der Form $p_i\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ und $q_i$ die Primfaktoren der Form $q_i\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ sind, ergibt sich als weitere Formel

$r_2(n)=4(f_1+1)(f_2+1)\cdots$,

wenn alle Exponenten $h_1,h_2,\dots$ gerade sind. Ist mindestens ein $h_i$ ungerade, dann ist $r_2(n)=0$. Nach Definition ist $r_2(n)$ auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm $n$.

Für $k=3$ bewies Gauß für quadratfreie Zahlen $n>4$ die Formel

$r_3(n)=\{\begin{array}{cc}24h(-n),& \text{wenn }n\equiv 3(\mathrm{mod}8),\\ 0& \text{wenn }n\equiv 7(\mathrm{mod}8),\\ 12h(-4n)& \text{sonst},\end{array}$

wobei $h(m)$ die Klassenzahl einer ganzen Zahl $m$ bezeichnet.

Für beliebige $n>0$ gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz $r_3(n)=0$ genau dann, wenn $n$ sich in der Form $n=4^a(8b+7),a\ge 0,b\ge 0$ darstellen lässt.

Die Formel für $k=4$ stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert $r_4(n)$ als achtfache Summe aller Teiler von $n,$ die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

$r_4(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

Für alle Primzahlen $p$ gilt damit speziell

$r_4(p)=8(p+1)$

und für alle Zweierpotenzen

$r_4(2^k)=24,k\ge 1$.

$r_4(n)$ ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm $n$.

Für die Anzahl der Darstellungen von $n$ durch $2s$ Quadrate für $s\ge 3$ gibt es ganz analoge Formeln. So ist z. B.

$r_6(n)=16\sum _{d\mid n}\chi (\frac{n}{d})d^2-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^2=4\sum _{d\mid n}[4\chi (\frac{n}{d})-\chi (d)]d^2$,

wobei $\chi (d)=+1,-1,0$ ist, je nachdem $d$ von der Form $4k+1,4k-1,2k$ ist.

Jacobi fand auch eine explizite Formel für $k=8$:

$r_8(n)=16\sum _{d\mid n}(-1{)}^{n+d}{d}^3$

Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

$K:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{r_2(k)}{k}-\pi \log n)$

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

$K=\pi (2\gamma +4\log \mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})-\log \pi )$

Siehe auch

• Hurwitzquaternion
• Zwei-Quadrate-Satz, Drei-Quadrate-Satz, Vier-Quadrate-Satz
• Zahlentheoretische Funktion

Weblinks

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