Durchschnittliche Größenordnung

In der Zahlentheorie bezeichnet die durchschnittliche Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere Funktion, die „im Mittel“ dieselben Werte annimmt.

Definition

Es sei $f$ eine zahlentheoretische Funktion. Man sagt, die durchschnittliche Größenordnung von $f$ ist $g$, wenn für $n\to \mathrm{\infty }$ die asymptotische Gleichheit

$\sum _{x\le n}f(x)\sim \sum _{x\le n}g(x)$

gilt. Es ist üblich, eine Näherungsfunktion zu wählen, die stetig und monoton ist. Aber auch damit ist sie keineswegs eindeutig bestimmt.

Beispiele

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Datei:Sigma 1.svg

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₁

Datei:Omega dgO.svg

Werte und durchschnittliche Größenordnung von ω und Ω

Die durchschnittliche Größenordnung der Quadratsummen-Funktion $r_k(n)$ bestimmt man aus der Summe

$R_k(x):=\sum _{n=0}^x{r}_k(n)=\sum _{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2\le x}1$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer $k$-dimensionalen Kugel mit dem Radius $\sqrt{x}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich (mit der Landau’schen O-Notation) rekursiv ableiten

$R_k(x)=V_k{x}^{\frac{k}{2}}+O(x^{\frac{k-1}{2}})$,

wobei die Konstanten $V_k$ die Volumina der $k$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

$V_1=2,V_2=\pi ,V_3=\frac{4}{3}\pi ,V_4=\frac{1}{2}{\pi }^2,\dots$

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_k$ ist damit $r_k(n)\sim \frac{k}{2}{V}_k{n}^{\frac{k}{2}-1}$, also z. B. $r_2(n)\sim \pi$.

Weitere Beispiele

• Die durchschnittliche Größenordnung der Eulerschen Phi-Funktion $\phi (n)$ ist $\frac{6}{{\pi }^2}n$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion $d(n):={\sigma }_0(n)$ ist $\ln n$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten $\gamma$

$\sum _{x\le n}d(x)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O(\sqrt{n})$.

• Die durchschnittliche Größenordnung der Teilerfunktion ${\sigma }_k(n)$ für $k>0$ ist $\zeta (k+1)n^k$ mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta (s)$.
• Die durchschnittliche Größenordnung der Ordnung $\mathrm{\Omega }(n)$, also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von $n$ wie auch von $\omega (n)$ als Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ist $\ln \ln n$. Genauer gilt (Satz von Hardy und Ramanujan)

$\sum _{x\le n}\omega (x)=n\ln \ln n+B_{1}n+o(n)$

$\sum _{x\le n}\mathrm{\Omega }(x)=n\ln \ln n+B_{2}n+o(n)$

mit den Konstanten $B_1=0,26149\dots$ (Mertens-Konstante) und $B_2=1,03465\dots$

Für beide Funktionen sind außerdem durchschnittliche und normale Größenordnung gleich.

• Der Primzahlsatz ist äquivalent zur Feststellung, dass die durchschnittliche Größenordnung der Mangoldtfunktion $\mathrm{\Lambda }(n)$ gleich $1$ ist.

Siehe auch

• Spezielle zahlentheoretische Funktionen
• Normale Größenordnung