Sierpiński-Konstante

Vorlage:Dieser Artikel Die Sierpiński-Konstante ist eine mathematische Konstante, benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie kann unter anderem durch den folgenden Ausdruck definiert werden:

$K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{r_2(k)}{k}-\pi \ln n),$

wobei $r_2(k)$ die Anzahl der Darstellungen von $k$ in der Form $a^2+b^2$ mit ganzen Zahlen $a$ und $b$ unter Beachtung der Reihenfolge, $\pi$ die Kreiszahl und $\ln$ der natürliche Logarithmus ist.

Darstellungsformen

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante $K$ ist

$K=\pi (2\gamma +\ln \frac{4{\pi }^3}{\mathrm{\Gamma }(1/4{)}^4})$

mit der Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ und der Gammafunktion $\mathrm{\Gamma }$. Aufgrund der Relation

$\mathrm{\Gamma }(1/4)=\frac{\pi \sqrt{2}}{\mathrm{\Gamma }(3/4)}$

ergibt sich die alternative Darstellung

$K=\pi (2\gamma +4\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)-\ln \pi ).$

Die Dezimalentwicklung von $K$ ist

$K=2,58498175957925321706589358738317116008805165185263\dots$ (Vorlage:OEIS)

r_n(k)-Funktion

$k$	$r_2(k)$
0	1
1	4
2	4
3	0
4	4
5	8
6	0
7	0
…	…
25	12
…	…
65	16
…	…

(Vorlage:OEIS).

Die Sierpiński-Konstante tritt bei der Untersuchung der Asymptotik der Quadratsummen-Funktion (im Englischen als Sum of Squares bezeichnet)

$r_n(k)=\left|\right\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in {\mathbb{Z}}^n\mid a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2=k\left\}\right|$

für den Fall $n=2$ auf (etwa um den Fall $n=4$ geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist $r_2(3)$ = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während $r_2(13)$ = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, $(\pm 3{)}^2+(\pm 2{)}^2$ und $(\pm 2{)}^2+(\pm 3{)}^2$, jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

Literatur

• Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu ${\sum }_{n>a}^{n\le b}\tau (n)f(n)$, gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe ${\sum }_{n>a}^{n\le b}\tau (n)f(n)$, wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
• Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:OEIS (Kettenbruchentwicklung von K)
• Vorlage:OEIS (Engel-Entwicklung von K)