Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson-Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson-Verteilung nicht a priori festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Ist $N$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\lambda$ und sind $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable

$Y:=\sum _{i=1}^N{X}_i$

zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die $X_i$ alle auf ${\mathbb{N}}_0$ definiert, also diskret, so heißt $Y$ diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man $Y\sim {\text{CPoi}}_{\lambda \mu }$, wobei $\mu$ die Verteilung von $X_1$ ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.

Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die englischen Begriffe compound Poisson und discrete compound Poisson.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald:

$\mathrm{E}(Y)=\lambda \mathrm{E}(X_1)$.

Varianz

Nach der Blackwell-Girshick-Gleichung gilt

$\mathrm{Var}(Y)=\lambda (\mathrm{E}(X_1){)}^2+\lambda \mathrm{Var}(X_1)=\lambda \mathrm{E}(X_1^2),$

wenn die zweiten Momente von $X_i$ existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.

Schiefe

Mittels der Kumulanten ergibt sich für die Schiefe

$\mathrm{v}(Y)=\frac{\lambda \mathrm{E}(X_1^3)}{{(\lambda \mathrm{E}(X_1^2))}^{\frac{3}{2}}}$.

Wölbung

Für den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten

$\gamma =\frac{\mathrm{E}(X_1^4)}{\lambda \mathrm{E}(X_1^2{)}^2}$.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

$g_X(t)=\lambda (M_{X_1}(t)-1)$,

wobei $M_{X_1}(t)$ die momenterzeugende Funktion von $X_1$ ist. Damit gilt für alle Kumulanten

${\kappa }_k=\lambda \mathrm{E}(X_1^k)$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der $X_i$:

$M_Y(t)=\exp (\lambda (M_{X_1}(t)-1))$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der $X_i$:

${\phi }_Y(t)=\exp (\lambda ({\phi }_{X_1}(t)-1))$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind die $X_i$ diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von $N$ und von $X_i$ zu

$m_Y(t)=\exp (\lambda (m_{X_1}(t)-1))$.

Unendliche Teilbarkeit

Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf ${\mathbb{N}}_0$ genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Ist $X_i=1$ fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen.

Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung

Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als $p_{\text{log}}=1-p_{\text{neg}}$ und $r=\frac{-\lambda }{\ln (1-p_{\text{log}})}$.

Weblinks

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Literatur

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