Weyl-Gleichung

Vorlage:Belege fehlen Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.

Formulierung

$\begin{array}{cc}\mathrm{i}{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_R& =0\\ \mathrm{i}{\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_L& =0\end{array}$

mit

• der imaginären Einheit $i$
• ${\sigma }^{\mu }=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^0& +\overrightarrow{\sigma }\end{array}\right)$
• ${\overline{\sigma }}^{\mu }=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^0& -\overrightarrow{\sigma }\end{array}\right)$
  • der zweidimensionalen Einheitsmatrix ${\sigma }^0$
  • den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen $\overrightarrow{\sigma }$.

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall

• ${\mathrm{\Psi }}_L$ das linkshändige Neutrino
• ${\mathrm{\Psi }}_R$ das rechtshändige Antineutrino.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)$

Die 2er-Spinoren ${\mathrm{\Psi }}_L$ und ${\mathrm{\Psi }}_R$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators ${\gamma }^5$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

$\begin{array}{cc}{\gamma }^5\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ 0\end{array}\right)& =-\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ 0\end{array}\right)\\ {\gamma }^5\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)& =+\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)\end{array}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

$(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}-m& \mathrm{i}{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\\ \mathrm{i}{\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }& -m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)=0$.

Verschwindet die Masse ($m=0$), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:

$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-\mathrm{i}g{T}_a{W}_{\mu }^a$

Dabei bezeichnen

• $g$ die Kopplungskonstante,
• $T_a$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• $W_{\mu }^a$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.