Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung $\mathrm{\Delta }$ der komplexifizierten Clifford-Algebra $\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(p,q)$ und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei $n=p+q$.

Die komplexifizierte Clifford-Algebra $\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(p,q)$ ist

• isomorph zur Matrizenalgebra $Ma{t}_{2^k}(ℂ)$, falls $n=2k$ gerade ist, oder
• isomorph zur Matrizenalgebra $Ma{t}_{2^{k-1}}(ℂ)\oplus Ma{t}_{2^{k-1}}(ℂ)$, falls $n=2k-1$ ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische $2^k$-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen $(p,q)$ mit $n=p+q$ existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(p,q)$ ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen $n=2k$ ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(p,q)$ betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension $2^{k-1}$ werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass ${\mathrm{\Delta }}_{2k}={\mathrm{\Delta }}_{2k}^{+}\oplus {\mathrm{\Delta }}_{2k}^{-}$. Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen ${\mathrm{\Delta }}_{2k}^{+},{\mathrm{\Delta }}_{2k}^{-}$ und auch für ungerade Dimensionen $n=2k+1$ mit dem Raum ${\mathrm{\Delta }}_{2k+1}$ sind irreduzibel.

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu $\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(3,1)$, dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur