Verbund (Topologie)

In der Mathematik ist der Verbund (engl.: join) topologischer Räume eine auf John Milnor zurückgehende Konstruktion aus der Topologie.

Konstruktion

Der Verbund zweier Intervalle (blau und grün) ist ein 3-dimensionales Polytop (grau).

Verbund zweier topologischer Räume

Es seien $X_1$ und $X_2$ zwei topologische Räume. Ihr Verbund $X=X_1*X_2$ wird wie folgt definiert. Die Elemente von $X$ sind die Paare

$(t_1{x}_1,t_2{x}_2)$ mit $x_1\in X_1,x_2\in X_2,t_1,t_2\in [0,1],t_1+t_2=1$,

wobei $t_i{x}_i$ eine abkürzende Bezeichnung für das Paar $(t_i,x_i)$ ist und für alle $x_1,x_1^{\prime }\in X_1$ und alle $x_2,x_2^{\prime }\in X_2$

$(0x_1,1x_2)=(0x_1^{\prime },1x_2)$ und $(1x_1,0x_2)=(1x_1,0x_2^{\prime })$

gesetzt wird. (Anschaulich werden also alle Punkte aus $X_1$ mit allen Punkten aus $X_2$ durch Strecken der Länge $1$ verbunden.)

Die Topologie auf $X$ ist per definitionem die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

$t_i:X\to [0,1]$

$(t_1{x}_1,t_2{x}_2)\to t_i(i=1,2)$

und

$x_i:\{(t_1{x}_1,t_2{x}_2):t_i=0\}\to X_i$

$(t_1{x}_1,t_2{x}_2)\to x_i(i=1,2)$

stetig sind.

Beispiele

• Der Verbund eines Raumes $X$ mit einem Punkt ist der Kegel $CX$ über $X$.
• Der Verbund eines Raumes $X$ mit dem 2-elementigen Raum $S^0$ ist die Einhängung $SX$ von $X$.
• Der Verbund zweier Sphären $S^k$ und $S^l$ ist die $(k+l+1)$-dimensionale Sphäre $S^{k+l+1}$.
• Der Verbund von $k$ Kreisen $S^1*\dots *S^1$ ist die $(2k-1)$-dimensionale Sphäre $S^{2k-1}$.
• Für das kartesische Produkt $X_1\times X_2$ zweier CAT(0)-Räume $X_1,X_2$ und deren geodätische Ränder gilt ${\partial }_{\mathrm{\infty }}(X_1\times X_2)={\partial }_{\mathrm{\infty }}{X}_1*{\partial }_{\mathrm{\infty }}{X}_2$.

Sphärischer Verbund

Auf dem Verbund zweier metrischer Räume $(X_1,d_1)$ und $(X_2,d_2)$ kann man eine Metrik wie folgt definieren: Der Abstand $d((t_1{x}_1,t_2{x}_2),(s_1{y}_1,s_2{y}_2))$ ist diejenige Zahl im Intervall $[0,\pi ]$, für die

$\cos (d((t_1{x}_1,t_2{x}_2),(s_1{y}_1,s_2{y}_2)))=\sqrt{t_1{s}_1}\cos (min\{\pi ,d_1(x_1,y_1)\})+\sqrt{t_2{s}_2}\cos (min\{\pi ,d_2(x_2,y_2)\})$

gilt. Man beachte, dass die Einschränkungen dieser Metrik auf $X_1$ und $X_2$ nicht die ursprünglichen Metriken $d_i(x,y)$, sondern $min\{\pi ,d_i(x,y)\}$ geben.

Der metrische Raum $(X_1*X_2,d)$ heißt sphärischer Verbund der metrischen Räume $(X_1,d_1)$ und $(X_2,d_2)$.

Verbund unendlich vieler topologischer Räume

Es sei $\{X_j:j\in J\}$ eine Familie topologischer Räume. Die Elemente des Verbundes $X={*}_{j\in J}{X}_j$ sind die $J$-Tupel

$(t_j{x}_j:j\in J)$ mit $t_j\in [0,1],x_j\in X_j,\sum _{j\in J}{t}_j=1,$ fast alle $t_j=0$.

Zwei Tupel $(t_j{x}_j)$ und $(u_j{y}_j)$ definieren genau dann dasselbe Element, wenn gilt:

• Für alle $j\in J$ ist $t_j=u_j$.
• Für alle $j\in J$ gilt: $t_j=0⟹x_j=y_j$.

Die Topologie auf $X$ ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

$t_j:X\to [0,1]$

$(t_i{x}_i)\to t_j(j\in J)$

und

$x_j:\{(t_i{x}_i):t_j=0\}\to X_j$

$(t_i{x}_i)\to x_j(j\in J)$

stetig sind.

Beispiele

• Für eine topologische Gruppe $G$ ist der abzählbar unendliche Verbund $G*G*\dots *G*\dots$ der sogenannte Milnor-Raum, er ist der klassifizierende Raum für $G$-Prinzipalbündel.

Literatur

• Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter Lehrbuch. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1991, ISBN 3-11-013187-0; 3-11-012463-7
• Martin R. Bridson; André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9