Unendliche Diedergruppe

Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition

So wie die Diedergruppen $D_n$ als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe $D_{\mathrm{\infty }}$ als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. $D_{\mathrm{\infty }}$ ist die Gruppe aller Isometrien auf $ℝ={ℝ}^1$, die $\mathbb{Z}\subset ℝ$ in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um $n$

${\tau }_n:ℝ\to ℝ,x\mapsto x+n$

für eine ganze Zahl $n\in \mathbb{Z}$ und Spiegelungen an $n/2$

${\sigma }_n:ℝ\to ℝ,x\mapsto n-x$

für eine ganze Zahl $n\in \mathbb{Z}$. Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe $D_{\mathrm{\infty }}$. Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit $D_0$ oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_{\mathrm{\infty }}$.

Die unendliche Diedergruppe wird schon von $\tau :={\tau }_1$ und $\sigma :={\sigma }_0$ erzeugt, denn offenbar gilt

${\tau }_n=\tau \circ \dots \circ \tau$, n-fache Hinteinanderausführung für $n>0$

${\tau }_n={\tau }_{-n}^{-1}$ für $n<0$

${\tau }_0$ ist das neutrale Element

${\sigma }_n={\tau }_n\circ \sigma$ für alle $n\in \mathbb{Z}$,

das heißt, die von $\{\tau ,\sigma \}$ erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien ${\tau }_n$ und ${\sigma }_n$ und das heißt, dass $D_{\mathrm{\infty }}$ von $\tau$ und $\sigma$ erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

$\sigma \circ \tau \circ \sigma ={\tau }^{-1}$,

denn für jedes $r\in ℝ$ gilt

$\sigma (\tau (\sigma (r)))=\sigma (\tau (-r))=\sigma (-r+1)=r-1={\tau }^{-1}(r)$,

und es gilt

${\sigma }^2=1$,

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn $\sigma$ ist eine Spiegelung.

D_∞ als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises

Sei $s$ die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und $d$ eine Drehung des Kreises um $2\pi r$ für eine irrationale Zahl $r$. Die von $d$ erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von $r$ unendlich und daher zu $\mathbb{Z}$ isomorph. Dann gilt offenbar

$s^2=1,sds=d^{-1}$

und man kann zeigen, dass $\sigma \mapsto s,\tau \mapsto d$ einen Isomorphismus von $D_{\mathrm{\infty }}$ auf die von $\{s,d\}$ erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl $r$ ab.

Präsentationen von D_∞

Nach Obigem erfüllen die Erzeuger $\tau$ und $\sigma$ die Relationen

$\sigma \circ \tau \circ \sigma ={\tau }^{-1}$   und   ${\sigma }^2=1$.

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass $D_{\mathrm{\infty }}$ die Präsentation

$D_{\mathrm{\infty }}=⟨x,y\mid x^2=1,xyx=y^{-1}⟩$

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen $x^2=1$ auch als $xy=y^{-1}x$ schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern $x$ und $y$ kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form $x^i{y}^n$ mit $i\in \{0,1\}$ und $n\in \mathbb{Z}$ gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

$D_{\mathrm{\infty }}=\{x^i{y}^n\mid i\in \{0,1\},n\in \mathbb{Z}\}$   und   $x^i{y}^n\cdot x^j{y}^m=x^{i+j}{y}^{(1-2j)n+m}$,

wobei der Exponent $i+j$ modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man $z:=xy$, so ist

$z^2=xyxy=y^{-1}y=1$.

Da man umgekehrt das Element $y$ mittels $y=xz$ aus $x$ und $z$ zurückgewinnen kann, wird $D_{\mathrm{\infty }}$ von den zwei Involutionen $x$ und $z$, das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

$D_{\mathrm{\infty }}=⟨x,z\mid x^2=1,z^2=1⟩$.

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.

Geometrisch entspricht der Erzeuger $z$ dem Produkt $\sigma \tau$, und das ist die Spiegelung an $-\frac{1}{2}$. Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und $-\frac{1}{2}$ erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an $-\frac{1}{2}$, gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D_∞ als semidirektes Produkt

Betrachte den Homomorphismus $\alpha :{\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z})$ von der Gruppe ℤ₂ in die Automorphismengruppe von $\mathbb{Z}$, der die Restklasse von 1 auf ${\alpha }_1:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto -n$ abbildet. Mit diesem $\alpha$ bilde das semidirekte Produkt

$\mathbb{Z}{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2:=\{(n,i)\mid n\in \mathbb{Z},i\in \{0,1\}\}$.

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

$(n,i)\cdot (m,j):=(n+{\alpha }_i(m),i+j)$

definiert, wobei ${\alpha }_0:={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{Z}}$ und die Summe $i+j$ modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu $D_{\mathrm{\infty }}$ ab.

Nun ist obiges $\alpha :{\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z})$ sogar ein Isomorphismus, denn neben ${\alpha }_1$ gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf $\mathbb{Z}$.

Daher ist $D_{\mathrm{\infty }}$ der Holomorph von $\mathbb{Z}$, das heißt

$D_{\mathrm{\infty }}\cong \mathbb{Z}{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\cong \mathbb{Z}⋊\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z})=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathbb{Z})$.

D_∞ als freies Produkt

Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt

$D_{\mathrm{\infty }}\cong {\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_2$.

Es ist klar, dass ${\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_2$ von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus $D_{\mathrm{\infty }}\to {\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_2$, von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.

D_∞ als Matrizengruppe

Wir betrachten die Menge

$M:=\{\left(\begin{array}{cc}e& n\\ 0& 1\end{array}\right);e\in \{-1,+1\},n\in \mathbb{Z}\}$

von $2\times 2$-Matrizen. Das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^i& n\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}(-1{)}^j& m\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^{i+j}& (-1{)}^{i}m+n\\ 0& 1\end{array}\right)$

zeigt, dass die Menge $M$ mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu $D_{\mathrm{\infty }}$ isomorphe Gruppe ist.

Untergruppen von D_∞

Die unendliche Diedergruppe $D_{\mathrm{\infty }}=⟨x,y\mid x^2=1,xyx=y^{-1}⟩$ enthält folgende Untergruppen ($k,n,r$ ganze Zahlen):

$U_k:=⟨y^k⟩$   für   $k\ge 0$,

$V_{0,n}:=⟨y^{n}x⟩\cong {\mathbb{Z}}_2$   für   $n\in \mathbb{Z}$,

$V_{k,r}:=⟨y^k,y^{r}x⟩\cong D_{\mathrm{\infty }}$   für   $0\le r<k$.

Das sind bereits alle Untergruppen von $D_{\mathrm{\infty }}$.

Wegen $\{1\}\le ⟨y⟩\le D_{\mathrm{\infty }}$ mit $D_{\mathrm{\infty }}/⟨y⟩\cong {\mathbb{Z}}_2$ ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.