Überauflösbare Gruppe

Überauflösbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um eine Verschärfung der Auflösbarkeit einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt überauflösbar, falls es Normalteiler $G_i⊲G$ gibt mit

$\{1\}=G_0⊲G_1⊲\dots ⊲G_n=G$,

so dass alle Faktorgruppen $G_{i+1}/G_i$ zyklisch sind.

Der wesentliche Unterschied zur Auflösbarkeit liegt darin, dass wir hier nicht nur fordern, dass $G_i$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist, um die Faktorgruppen bilden zu können, sondern die stärkere Forderung stellen, dass die $G_i$ sogar Normalteiler in $G$ sind. Überauflösbarkeit ist daher ein stärkerer Begriff als Auflösbarkeit.

Beispiele

• Trivialer Weise ist jede zyklische Gruppe überauflösbar. Damit sind die Gruppen ${\mathbb{Z}}_n$ und $\mathbb{Z}$ überauflösbar, sowie endliche direkte Summen aus solchen.
• Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar.
• Die symmetrische Gruppe S₃ ist überauflösbar aber nicht nilpotent, denn

$\{(1)\}⊲\{(1),(123),(132)\}⊲S_3$

erfüllt offenbar die Definition, aber da die Gruppe $S_3$ triviales Zentrum hat, kann sie nicht nilpotent sein.

• Die unendliche Diedergruppe ist überauflösbar aber nicht nilpotent.
• Die alternierende Gruppe A₄ ist auflösbar aber nicht überauflösbar.

Eigenschaften

• Überauflösbare Gruppen sind auflösbar, wie zur Definition bereits bemerkt wurde.
• Überauflösbare Gruppen sind polyzyklisch.
• Überauflösbare Gruppen genügen der Maximalbedingung, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen enthält eine maximale Untergruppe. Daraus folgt, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist. Insbesondere sind überauflösbare Gruppen stets endlich erzeugt.
• Die definierende Reihe von Normalteilern einer überauflösbaren Gruppe ist nicht eindeutig bestimmt. Durch geeignete Operationen kann man sogar zu einer Reihe $\{1\}=G_0⊲G_1⊲\dots ⊲G_n=G$ übergehen, deren Faktoren $G_{i+1}/G_i$ wie folgt angeordnet sind: zunächst kommen alle zu ${\mathbb{Z}}_p$ mit ungerader Primzahl p isomorphen Faktoren, und zwar in absteigender Reihenfolge, dann alle zu $\mathbb{Z}$ isomorphen Faktoren und schließlich alle zu ${\mathbb{Z}}_2$ isomorphen Faktoren.
• Ist $G$ überauflösbar, so ist die Fitting-Untergruppe $\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{t}(G)$ nilpotent und die Faktorgruppe $G/\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{t}(G)$ ist endlich und abelsch.

Vererbungseigenschaften

• Untergruppen und homomorphe Bilder überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Die Umkehrung gilt nicht, die Klasse der überauflösbaren Gruppen ist nicht gegenüber Erweiterungen abgeschlossen. Die alternierende Gruppe $A_4$ enthält einen zur Kleinschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler $V$. Dann sind $V$ und $A_4/V\cong {\mathbb{Z}}_3$ überauflösbar, $A_4$ selbst ist aber nicht überauflösbar.
• Bestimmte Erweiterungen allerdings sind überauflösbar: Ist $G$ eine Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler $N$, so dass $G/N$ überauflösbar ist, so ist $G$ überauflösbar.
• Endliche direkte Summen überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Unendliche direkte Summen sind in der Regel nicht überauflösbar. So ist ${\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{\mathbb{Z}}_2$ nicht überauflösbar, denn diese Gruppe genügt nicht der Maximalbedingung.

Endliche Gruppen

Für endliche Gruppen bestehen einige äquivalente Charakterisierungen, für die folgende Begriffe benötigt werden. $\mathrm{\Phi }(G)$ bezeichne die Frattinigruppe der Gruppe $G$. Unter einer maximalen Kette in $G$ versteht man eine Kette $\{1\}=M_0<M_1<\dots <M_n=G$ von Untergruppen, so dass jedes $M_i$ maximale Untergruppe in $M_{i+1}$ ist für $0\le i<n$, die Zahl n heißt die Länge dieser Kette.

Für eine endliche Gruppe $G$ sind äquivalent:

• $G$ ist überauflösbar.
• (B. Huppert) Jede maximale Untergruppe hat eine Primzahl als Index.
• $G/\mathrm{\Phi }(G)$ ist überauflösbar.
• (K. Iwasawa) Je zwei maximale Ketten in $G$ haben dieselbe Länge.

Für endliche Gruppen gelten die Implikationen

zyklisch   $\Rightarrow$   abelsch   $\Rightarrow$   nilpotent   $\Rightarrow$   überauflösbar   $\Rightarrow$   auflösbar.

Das obige Beispiel ${\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{\mathbb{Z}}_2$ zeigt, dass für unendliche Gruppen aus abelsch nicht notwendig überauflösbar folgt.