Kan-Komplex

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

Definition

Der violette 2-Simplex $\sigma$ hat die schwarzen Kanten ${\tau }_0,{\tau }_2$ als Ränder: ${\partial }_0\sigma ={\tau }_0,{\partial }_2\sigma ={\tau }_2$.

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplex, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für alle $n\in \mathbb{N},0\le k\le n+1$ und jede $(n+1)$-elementige Menge $\{{\tau }_0,\dots ,{\tau }_{k-1},{\tau }_{k+1},\dots {\tau }_{n+1}\}$ von $n$-Simplizes mit ${\partial }_i{\tau }_j={\partial }_{j-1}{\tau }_i$ für alle $i<j$ gibt es ein $(n+1)$-Simplex $\sigma$ mit ${\partial }_i\sigma ={\tau }_i$ für $i=0,\dots ,k-1,k+1,\dots ,n+1$.

Homotopiegruppen

D. M. Kan gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge $S_{*}(X)$ sei wie folgt definiert. Die $n$-Simplizes in $S_n(X)$ sind die stetigen Abbildungen des Standard-$n$-Simplexes nach $X$. Die Randabbildungen von $S_{*}(X)$ werden von den Randabbildungen ${\mathrm{\Delta }}^{n-1}\to {\mathrm{\Delta }}^n$ induziert.

$S_{*}(X)$ ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von $X$ überein.

Literatur

• J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Weblinks

• G. Friedman: an elementary illustrated introduction to simplicial sets