2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Definition

Eine 2-Kategorie $𝒞$ besteht aus einer Klasse $Ob(𝒞)$ von Objekten, einer Klasse $Mor(𝒞)$ von Morphismen zwischen Objekten und einer Klasse $Mo{r}_2(𝒞)$ von Morphismen zwischen Morphismen.

Das heißt sowohl

$(Ob(𝒞),Mor(𝒞))$

als auch

$(Mor(𝒞),Mo{r}_2(𝒞))$

bilden jeweils eine Kategorie.

Beispiele

• Sei $𝒢rp$ die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

$Mo{r}_2(f_0,f_1)=\{h\in H:f_1(g)=h{f}_0(g)h^{-1}\mathrm{\forall }g\in G\}$

für alle $f_0,f_1\in Mor(G,H)$.

• Sei $𝒯op$ die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

$Mo{r}_2(f_0,f_1)=\{H:X\times [0,1]\to Y:H(x,i)=f_i(x)\mathrm{\forall }x\in X,i\in \{0,1\}\}$

für alle $f_0,f_1\in Mor(X,Y)$.

• Sei $𝒞at$ die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch

$Mo{r}_2({ℱ}_0,{ℱ}_1)=\{{\{{\alpha }_C:{ℱ}_0(C)\to {ℱ}_1(C)\}}_{C\in 𝒞}:{\alpha }_{C^{\prime }}\circ F(f)=G(f)\circ {\alpha }_C\mathrm{\forall }C,C^{\prime }\in Ob(𝒞),f\in Mor(C,C^{\prime })\}$

für alle ${ℱ}_0,{ℱ}_1\in Mor(𝒞,𝒟)$.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (Section 1.1), online (pdf)

Weblinks

• 2-category (nlab)