UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion

Es bezeichne $M_n$ die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen. Ist $n$ ein Teiler von $m$, so sei $\iota :M_n\to M_m$ derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus $M_n$ auf diejenige $m\times m$-Matrix abbildet, die aus $m/n$ Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

$M_2\to M_6,\left(\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cccccc}{x}_{11}& x_{12}& 0& 0& 0& 0\\ x_{21}& x_{22}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& x_{11}& x_{12}& 0& 0\\ 0& 0& x_{21}& x_{22}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& x_{11}& x_{12}\\ 0& 0& 0& 0& x_{21}& x_{22}\end{array}\right)$.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man $M_n$ in diesem Sinne als Unteralgebra von $M_m$ auffassen, und statt $\iota$ schreiben wir einfach $M_n\subset M_m$.

Ist nun $\overrightarrow{n}=(n_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge natürlicher Zahlen $\ge 2$, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

$M_{n_1}\subset M_{n_1\cdot n_2}\subset M_{n_1\cdot n_2\cdot n_3}\subset \dots$.

Auf der Vereinigung $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{n_1\cdot \dots \cdot n_k}$ gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von $M_{n_1\cdot \dots \cdot n_k}$ fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang $\overrightarrow{n}$ nennt.

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge $\overrightarrow{n}=(n_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ ab. Zu jeder Primzahl $p$ sei ${\delta }_{\overrightarrow{n}}(p)\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ das Supremum aller $n\in \mathbb{N}$, so dass $p^n$ ein Teiler von $n_1\cdot \dots \cdot n_k$, wobei $k$ gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge $\overrightarrow{n}$ die Folge ${\delta }_{\overrightarrow{n}}=({\delta }_{\overrightarrow{n}}(p){)}_p$ zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als $\prod _p{p}^{{\delta }_{\overrightarrow{n}}(p)}$ schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; $p$ durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt

• Zwei UHF-Algebren vom Rang $\overrightarrow{n}$ bzw. $\overrightarrow{m}$ sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls ${\delta }_{\overrightarrow{n}}(p)={\delta }_{\overrightarrow{m}}(p)$ für alle Primzahlen $p$.

Dieser Satz findet sich bereits in . Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist $\overrightarrow{n}=(n_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

$\begin{array}{ccccccc}& \rightrightarrows & & \rightrightarrows & & \rightrightarrows & \\ n_1& ⋮& n_1\cdot n_2& ⋮& n_1\cdot n_2\cdot n_3& ⋮& n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\dots \\ & \underset{n_2\text{mal}}{\underbrace{\to }}& & \underset{n_3\text{mal}}{\underbrace{\to }}& & \underset{n_4\text{mal}}{\underbrace{\to }}\end{array}$.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K₀-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu

$\{\frac{a}{b};a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0,b|n_1\cdot \dots \cdot n_k\text{ für ein }k\in \mathbb{N}\}\subset \mathbb{Q}$

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra $A$ besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional $\tau$ mit $\tau (x^{*}x)\ge 0$, $\tau (1)=1$ und $\tau (xy)=\tau (yx)$ für alle Elemente $x,y\in A$. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung ${\pi }_{\tau }:A\to L(H)$ auf einem Hilbertraum $H$. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes ${\pi }_{\tau }(A{)}^{{\text{'}}^{\prime }}\subset L(H)$ ein Typ II₁-Faktor ist.

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl $2^{\mathrm{\infty }}$ ist. In werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.