Strom (Mathematik)

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein $m$-dimensionaler Strom oder $m$-Strom in ${ℝ}^n$ ist ein stetiges, lineares Funktional auf ${𝒟}^m({ℝ}^n):=C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n,{\mathrm{\Lambda }}^m{ℝ}^n)$. Die Menge der $m$-dimensionalen Ströme auf $O$ wird mit ${𝒟}_m(O)$ bezeichnet.

Mit ${\mathrm{\Lambda }}^m{ℝ}^n$ wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass ${𝒟}^m({ℝ}^n)$ der Raum der $m$-Formen auf ${ℝ}^n$ mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums ${𝒟}_m$.

Eigenschaften

Eine Folge $(T_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ in ${𝒟}_m({ℝ}^n)$ konvergiert schwach gegen einen Strom $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$, wenn $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_i(\omega )=T(\omega )$ für alle $\omega \in {𝒟}^m({ℝ}^n)$; wir scheiben $T_i\rightharpoonup T$. Der Träger $\mathrm{supp}T$ eines Stromes $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$ ist die kleinste abgeschlossene Menge $C\subset {ℝ}^n$ mit der Eigenschaft, dass $T(\omega )=0$ für alle $\omega \in {𝒟}^m({ℝ}^n)$ mit $\mathrm{supp}\omega \cap C=\mathrm{\varnothing }$.

Rand eines Stromes

Sei $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n),m\ge 1$. Der Rand von $T$ ist der Strom $\partial T\in {𝒟}_{m-1}({ℝ}^n)$, welcher durch $\partial T(\pi ):=T(d\pi )$ für alle $\pi \in {𝒟}^{m-1}({ℝ}^n)$ definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt $\partial \circ \partial =0$, weil $d\circ d=0$, $\mathrm{supp}\partial T\subset \mathrm{supp}T$, und $T_i\rightharpoonup T$ impliziert $\partial T_i\rightharpoonup \partial T$.

Masse

Seien, $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$. Für $U\in {ℝ}^n$ offen und $A\subset {ℝ}^n$ beliebig. Man setze

$\Vert T\Vert (U):=\sup \{T(\omega ):\mathrm{supp}\omega \subset U,\underset{x}{\sup }\Vert w\Vert \le 1\}$ und $\Vert T\Vert (A):=\inf \{\Vert T\Vert (U):A\subset U\}$.

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß $\Vert T\Vert$ auf ${ℝ}^n$. Wir definieren die Masse von $T$ durch $𝐌(T)=\Vert T\Vert ({ℝ}^n)\in [0,\mathrm{\infty }]$. Den Vektorraum aller $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$ mit $𝐌(T)<\mathrm{\infty }$ bezeichnen wir mit ${𝐌}_m(T)$. Ein Strom $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$ hat lokal endliche Masse, falls $\Vert T\Vert$ ein Radon-Maß ist, also falls $\Vert T\Vert$ endlich auf kompakten Mengen ist, und ${𝐌}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(T)$ bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.

Sei $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n),m\ge 1$. Man setze $𝐍(T):=𝐌(T)+𝐌(\partial T)$. Wir nennen $T$ normal, falls $𝐍(T)<\mathrm{\infty }$ und lokal-normal, falls $\Vert T\Vert +\Vert \partial T\Vert$ ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit ${𝐍}_m(T)$ und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit ${𝐍}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(T)$.

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝⁿ

Konstanzsatz

Sei $U\subset {ℝ}^n$ offen und zusammenhängend, $T\in {𝒟}_n({ℝ}^n)$ und $\mathrm{supp}\partial T\subset {ℝ}^n\setminus U$. Dann existiert eine Konstante $c\in ℝ$, sodass $\mathrm{supp}(T-c[U])\cap U=\mathrm{\varnothing }$.

Hier ist $[U]:=[U,e_1\wedge \dots \wedge e_n]$, also $[U](\omega )=\int ⟨e_1\wedge \dots \wedge e_n,\omega ⟩dx=\int fdx$ für $\omega =fd{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n\in {𝒟}^n({ℝ}^n)$.

Charakterisierung von N_m,loc(T)

Sei $T\in {𝒟}_n({ℝ}^n)$. Dann ist $T\in {𝐍}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$ dann und nur dann, wenn $T=[{ℝ}^n]⌞u$ für ein $u\in {\mathrm{B}\mathrm{V}}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$, in welchem Fall $\Vert \partial T\Vert =|Du|$ ist. Hier bezeichnet ${\mathrm{B}\mathrm{V}}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$ die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei ${\mathscr{H}}^m$ das Hausdorff-Maß auf dem ${ℝ}^n$. Ein Strom $T\in {𝒟}_m({ℝ}^n)$ heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

$T(\omega )=\underset{E}{\int }⟨\tau (x),\omega (x)⟩i\theta (x)d{\mathscr{H}}^m(x),$ wobei

1. $E\subset {ℝ}^n$ abzählbar ${\mathscr{H}}^m$-rektifizierbar und eine ${\mathscr{H}}^m$-messbare Menge ist,
2. $\theta$ eine lokale ${\mathscr{H}}^m$-integrierbare natürliche Funktion auf $E$ ist,
3. $\tau$ eine ${\mathscr{H}}^m$-messbare ${\mathrm{\Lambda }}_m{ℝ}^n$-wertige Funktion auf $E$, sodass für ${\mathscr{H}}^m$-fast überall $x\in E$, $\tau (x)$ ist einfach, $|\tau (x)|<1$, und $\tau (x)$ bezeichnet den approximierten Tangentialraum ${\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^m(E,x)\in G(n,m)$.

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in ${ℝ}^n$wird mit ${ℐ}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$ bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in ${ℝ}^n$ ist eine Element von ${ℐ}_m({ℝ}^n):={ℐ}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)\cap {𝐌}_m({ℝ}^n)$.

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in ${ℝ}^n$ ist definiert durch ${𝐈}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n):=\{T\in {ℐ}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n):\partial T\in {ℐ}_{m-1,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)\}$ für $m\ge 1$ und ${𝐈}_{0,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n):={ℐ}_{0,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$. Ein Integralstrom in ${ℝ}^n$ ist ein Element von ${𝐈}_m({ℝ}^n):={𝐈}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)\cap {𝐍}_m({ℝ}^n)$. Weiter bezeichnen wir ${𝐈}_{m.c}({ℝ}^n):=\{T\in {𝐈}_m({ℝ}^n):\mathrm{supp}T\text{ ist kompakt}\}$.

Minimierung von Strömen

Ein Strom $T\in {ℐ}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$ heißt minimierbar wenn $𝐌(T⌞K)\le 𝐌(T^{\prime })$ für jede kompakte Menge $K\subset {ℝ}^n$ und jedes $T^{\prime }\in {ℐ}_{m,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}({ℝ}^n)$ mit kompaktem Träger und Rand $\partial T^{\prime }=\partial (T⌞K)$.

Literatur

• Urs Lang: Introduction to Geometric Measure Theory