Stratonowitsch-Integral

Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt

$\sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}),$

nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes

$\sum \frac{1}{2}(Y_{t_i}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).$

Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.

Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

Stratonowitsch-Integral

Seien $X$ und $Y$ Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },ℱ,P,({ℱ}_t{)}_{t\ge 0})$ und $t\ge 0$. Dann ist das Stratonowitsch-Integral von $Y$ bezüglich $X$ definiert als

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}\circ d{X}_s:& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t-\frac{1}{2}\sum _{s\le t}\mathrm{\Delta }{Y}_s\mathrm{\Delta }{X}_s\\ & =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t^c.\end{array}$

Hier ist ${\int }_0^t{Y}_{s-}d{X}_s$ das Itō-Integral und $[X,Y{]}_t^c$ der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die $\mathrm{\Delta }{Y}_s=Y_s-Y_{s-}$ die Sprungstellen des Prozesses.

Für stetige Semimartingale

Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann ist

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s:& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s}d{X}_s+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t\\ & =(Y\cdot X{)}_t+\frac{1}{2}[Y,X{]}_t,\end{array}$

oder in Differentialschreibweise

$Y_t\circ d{X}_t:=Y_{t}d{X}_t+\frac{1}{2}d[Y,X{]}_t.$

Erläuterungen

• Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass $Y$ nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

Herleitung

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei $\mathrm{\Delta }$ eine Partition von $[0,t]$ und $X,Y$ stetige Semimartingale. Dann gilt

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|\mathrm{\Delta }|\to 0}\sum _{i=1}^n\frac{Y_{t_i}+Y_{t_{i-1}}}{2}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).\end{array}$

Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral

Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}\circ d{X}_s-\frac{1}{2}[Y,X{]}_t^c.$

Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann gilt

$(Y\cdot X{)}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\circ d{X}_s-\frac{1}{2}[Y,X{]}_t.$

Itō-Formeln

Sei $X=(X^1,\dots ,X^n)$ ein ${ℝ}^n$-Semimartingal und $f\in C^2({ℝ}^n,ℝ)$, dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt

$f(X_t)-f(X_0)=\sum _{i=1}^n\underset{0+}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\circ d{X}_s^i+\sum _{0<s\le t}(f(X_s)-f(X_{s-})-\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i).$

Das Integrationsgebiet $1_{[0+,t]}$ bedeutet $1_{(0,t]}$.

Für stetige Semimartingale

Sei $X=(X^1,\dots ,X^n)$ ein stetiges ${ℝ}^n$-Semimartingal und $f\in C^2({ℝ}^n,ℝ)$, dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt

$f(X_t)-f(X_0)=\sum _{i=1}^n\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_s)\circ d{X}_s^i.$

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.

Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.

Literatur

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