Optionale σ-Algebra

Die optionale σ-Algebra bezeichnet in der Theorie der stochastischen Prozesse eine σ-Algebra auf dem Produktraum $\mathrm{\Omega }\times {ℝ}_{+}$, die von den adaptierten Càdlàg-Prozessen erzeugt wird.

Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, heißt optional.

Definition

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,\{{ℱ}_t\},P)$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, der die üblichen Bedingungen erfüllt.

Die optionale σ-Algebra $𝒪$ (oder $𝒪(\{{ℱ}_t\})$ notiert) ist die σ-Algebra auf $\mathrm{\Omega }\times {ℝ}_{+}$, die von den $\{{ℱ}_t\}$-adaptierten Càdlàg-Prozessen $(X_t{)}_{t\ge 0}$ erzeugt wird. Ein Prozess, der messbar bezüglich dieser σ-Algebra ist, d. h. die Abbildung $(\omega ,t)\mapsto X_t(\omega )$ ist $𝒪$-messbar, heißt optional.

Eigenschaften

Sei $𝒫$ die vorhersagbare σ-Algebra und $\text{Prog}$ die progressiv messbare σ-Algebra. Dann gilt die Inklusion

$𝒫\subset 𝒪\subset \text{Prog}\subset {ℱ}_{\mathrm{\infty }}\otimes ℬ({ℝ}_{+}).$

Wichtige Sätze

Die folgenden Sätze heißen Sektionssatz (Vorlage:EnS) und Projektionssatz (Vorlage:EnS). Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante.

Für beide Sätze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\{{ℱ}_t\},P)$ voraus, der die üblichen Bedingungen erfüllt.

Optionaler Sektionssatz

Für eine Stoppzeit $S$ definieren wir ihren Graphen $[S]:=\{(\omega ,t)\in \mathrm{\Omega }\times {ℝ}_{+}:S(\omega )=t\}$, weiter definieren wir die kanonische Projektion $\pi :\mathrm{\Omega }\times {ℝ}_{+}\to \mathrm{\Omega }$.

Sei $A$ eine optionale Menge. Für jedes $\epsilon >0$ existiert eine Stoppzeit $T$, so dass

1. für den Graphen $[T]\subset A$ gilt.
2. $P[T<\mathrm{\infty }]\ge P(\pi (A))-\epsilon .$

Optionaler Projektionssatz

Sei $X$ ein messbarer Prozess, der entweder positiv oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) optionaler Prozess $Y$, so dass

$𝔼[X_T{1}_{\{T<\mathrm{\infty }\}}|{ℱ}_T]=Y_T{1}_{\{T<\mathrm{\infty }\}}$ fast sicher für jede Stoppzeit $T$.

Der Prozess $Y$ heißt optionale Projektion und wird auch mit $o^{}X$ notiert.