Stiefel-Komplex

In der Mathematik ist der Stiefel-Komplex ein Hilfsmittel zur Berechnung der Homologie orthogonaler Gruppen.

Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und $V$ ein quadratischer $R$-Modul, d. h. ein freier R-Modul mit einer symmetrischen Bilinearform $q:V\times V\to R$.

Ein orthonormaler Rahmen $R$ in $V$ ist ein Tupel $(v_1,\dots ,v_k)$ mit $q(v_i,v_j)={\delta }_{ij}$ für $1\le i,j\le k$. Auf der Menge orthonormaler Rahmen hat man eine Teilordnung durch die Inklusion.

Der Stiefel-Komplex ist der Simplizialkomplex, dessen $k$-Simplizes die aufsteigenden Ketten orthonormaler Rahmen $R_0\subset \dots \subset R_k$ sind. Die Randabbildung ist definiert durch

$\partial (R_0\subset \dots \subset R_k):=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(R_0\subset \dots \widehat{R_i}\dots R_k)$.

Anwendung

Vogtmann benutzt Stiefel-Komplexe, um die Stabilität der Homologie der orthogonalen Gruppe $O(n):=O(R^n,{\delta }_{ij})$ für das Standard-Skalarprodukt zu zeigen: zu jedem $k$ gibt es ein $N$, so dass für alle $n\ge N$ die Inklusion $O(n)\subset O(n+1)$ einen Isomorphismus $H_k(O(n))=H_k(O(n+1))$ induziert.

Literatur

• K. Vogtmann: A Stiefel complex for the orthogonal group of a field. Comm. Math. Helv. 57, 11–21 (1982)