Spinor-Darstellung

Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe $Spin(2k)$ und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe $Spin(2k+1)$ dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Herleitung

Im Folgenden bezeichnen wir mit $ℂl_n$ die Clifford-Algebra des $ℂ$-Vektorraums ${ℂ}^n$ mit der quadratischen Form $q(z_1,\dots ,z_n)=z_1^2+\dots +z_n^2$.

Die Clifford-Algebra $ℂl_1$ ist isomorph zu $ℂ\oplus ℂ$ und hat insbesondere zwei $1$-dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra $ℂl_2$ wird per Definition erzeugt von $e_1,e_2$ mit den Relationen $e_1^2=-1=e_2^2$ und $e_1{e}_2+e_2{e}_1=0$. Andererseits hat $Mat(2,ℂ)$ als $ℂ$-Vektorraum die Basis

$1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),g_1=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),g_2=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),g_1{g}_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

mit den Relationen $g_1^2=-1=g_2^2$ und $g_1{g}_2+g_2{g}_1=0$. Man hat also einen Isomorphismus

$ℂl_2\cong Mat(2,ℂ)$

und insbesondere eine $2$-dimensionale Darstellung von $ℂl_2$.

Durch

$e_1\to 1\otimes g_1,e_2\to 1\otimes g_2,e_j\to (i{e}_{j-2}\otimes g_1{g}_2)\text{ für }3\le j\le n+2$

erhält man einen Isomorphismus

$ℂl_{n+2}\to ℂl_n\otimes M_2(ℂ)$.

Für eine gerade Zahl $n=2k$ folgt daraus durch vollständige Induktion

$ℂl_{2k}\cong M_2(ℂ)\otimes \dots \otimes M_2(ℂ)\cong M_{2^k}(ℂ)$,

insbesondere erhält man eine Darstellung von $ℂl_{2k}$ auf einem $2^k$-dimensionalen Vektorraum ${\mathrm{\Delta }}_n$.

Für eine ungerade Zahl $n=2k+1$ erhält man durch vollständige Induktion

$ℂl_{2k+1}\cong (ℂ\oplus ℂ)\otimes M_2(ℂ)\otimes \dots \otimes M_2(ℂ)\cong (ℂ\oplus ℂ)\otimes M_{2^k}(ℂ)\cong M_{2^k}(ℂ)\oplus M_{2^k}(ℂ)$,

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von $ℂl_{2k+1}$ auf $2^k$-dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für $n=2k$ oder $n=2k+1$ einen komplexen Vektorraum

${\mathrm{\Delta }}_n\cong {ℂ}^{2^k}$,

so dass

$\begin{array}{cc}ℂl_n=End({\mathrm{\Delta }}_n)& n=2k\text{ gerade}\\ ℂl_n=End({\mathrm{\Delta }}_n)\oplus End({\mathrm{\Delta }}_n)& n=2k+1\text{ ungerade}\end{array}$.

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe $Spin(n)$ ist die Einschränkung der Darstellung ${\mathrm{\Delta }}_n$ auf $Spin(n)\subset ℂl_n$.

Allgemeiner kann man für $n=p+q$ die zur quadratischen Form $q(z_1,\dots ,z_n)=z_1^2+\dots +z_p^2-z_{p+1}^2-\dots -z_{p+q}^2$ auf dem ${ℝ}^{p+q}$ assoziierte Spin-Gruppe $Spin(p,q)$ betrachten. Diese ist ebenfalls in $ℂl_n$ enthalten und somit sind ${\mathrm{\Delta }}_n$ bzw. ${\mathrm{\Delta }}_n^{\pm }$ Darstellungen von $Spin(p,q)$. In der Physik werden die Elemente von ${\mathrm{\Delta }}_n$ als Dirac-Spinoren bezeichnet.

Eigenschaften

• Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
• Für alle $g\in Spin(n)$ hat das Bild in $GL({\mathrm{\Delta }}_n)$ bzw. $GL({\mathrm{\Delta }}_n^{\pm })$ die Determinante $1$.
• Auf ${\mathrm{\Delta }}_n$ bzw. ${\mathrm{\Delta }}_n^{\pm }$ gibt es ein $Spin(n)$-invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in $SU({\mathrm{\Delta }}_n)$ bzw. $SU({\mathrm{\Delta }}_n^{\pm })$.

Halbspinor-Darstellungen

Für $n=2k+1$ ungerade ist die Spinor-Darstellung ${\mathrm{\Delta }}_n$ eine irreduzible Darstellung von $Spin(n)$. Dagegen ist für $n=2k$ gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe ${\mathrm{\Delta }}_{2k}^{+}\oplus {\mathrm{\Delta }}_{2k}^{-}$ zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von $e_1\dots e_{2k}$ zu den Eigenwerten $(-i{)}^k$ und $-(-i{)}^k$. In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

Literatur

• Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
• John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.