Spektralzerlegung (Mathematik)

Die Spektralzerlegung oder spektrale Zerlegung ist in der linearen Algebra die Zerlegung einer quadratischen Matrix in eine Normalform, bei der die Matrix durch ihre Eigenwerte und Eigenvektoren dargestellt wird. Das gelingt genau dann, wenn die Matrix diagonalisierbar ist.Vorlage:Rp Grundlage für die Spektralzerlegung ist der Spektralsatz, unter dessen Bedingungen die Schur-Zerlegung die gegebene Matrix in eine Diagonalmatrix transformiert. Die Spektralzerlegung ist die Darstellung der Rücktransformation als Summe von Dyaden.

Gelegentlich wird

• das Auffinden der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix $M$ oder
• die Darstellung $M=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*}$ mit unitärer Matrix $U$ und ihrer adjungierten $U^{*}$

Spektralzerlegung von $M$ genannt. Die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ${\lambda }_j$ einer $(n\times n)$-Matrix $M$

$\mathrm{\Lambda }=\text{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\}$Vorlage:Anker

ist die sogenannte Spektralmatrix, die das Spektrum der Matrix enthält.Vorlage:Rp

Der Wert der dyadischen Zerlegung besteht vor allem in der strikten Trennung von Geometrie (dem Vektorgerüst) und dem Eigenwertspektrum.Vorlage:Rp Die Spektralzerlegung eines Matrizenpaares ist in der Modalanalyse von zentraler Bedeutung.

Definition

Die Zerlegung einer quadratischen $(n\times n)$-Matrix über der Grundmenge $G$ in der Form

$M={\lambda }_1{P}_1+\dots +{\lambda }_n{P}_n$

ist die Spektralzerlegung von $M$, wenn gilt:Vorlage:Rp

1. Die ${\lambda }_i$ sind die paarweise verschiedenen Eigenwerte von $M$.
2. Die $P_i$ sind Projektoren ($n\times n$-Matrizen) mit den Eigenschaften
   • $P_i{P}_j=0$ für $i\ne j$ und $P_i{P}_j=P_i$ für $i=j$, wobei $0$ die $n\times n$-Nullmatrix ist, und
   • $P_1+\dots +P_n=E$, wobei $E$ die $n\times n$-Einheitsmatrix ist.
3. Es gibt Polynome $f_j$ mit $f_j(M)=P_j$.

Eine solche Zerlegung existiert genau dann, wenn $M$ eine diagonalisierbare Matrix ist. Die Matrizen $P_j$ werden Eigendyaden oder Stützdyaden genannt.Vorlage:Rp

Die Spektralzerlegung eines $n\times n$-Matrizenpaares $K;M,M$ regulär, lautetVorlage:Rp

$K={\lambda }_i{D}_1+\dots +{\lambda }_n{D}_n=\sum _j{\lambda }_j{D}_j$

$M=D_1+\dots +D_n=\sum _j{D}_j$

mit den Merkmalen:

1. Die ${\lambda }_i$ sind die Eigenwerte des Matrizenpaares $K;M$, sie erfüllen $\det (K-{\lambda }_{i}M)=0$
2. Die $n\times n$-Matrizen $D_i$ genügen den Bedingungen
   • $D_i{M}^{-1}{D}_j=0$ für $i\ne j$ und
   • $D_i{M}^{-1}{D}_j=D_i$ für $i=j$.

Kriterien für Diagonalisierbarkeit

Eine quadratische n-dimensionale Matrix A heißt unitär diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn

• sie eine normale Matrix ist, deren Eigenwerte Elemente ihrer Grundmenge sind, oder
• es eine Diagonalmatrix D gibt, zu der sie ähnlich ist, d. h. dass es eine reguläre Matrix S gibt, sodass S⁻¹ AS eine Diagonalmatrix ist,Vorlage:Rp oder
• sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt,Vorlage:Rp oder
• die algebraische und geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert von A übereinstimmen.Vorlage:Rp

Allgemein gilt:

• Auf der Grundmenge der komplexen Zahlen ist jede normale Matrix und jede hermitesche Matrix diagonalisierbar.
• Jede reelle symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.Vorlage:Rp
• Eine normale Dreiecksmatrix ist eine Diagonalmatrix.

Ein reelles n×n-Matrizenpaar ist diagonalähnlich, wennVorlage:Rp

• es n verschiedene Eigenwerte besitzt oder
• es n linear unabhängige Links- und Rechtseigenvektoren besitzt oder
• für jeden der verschiedenen Eigenwerte der Rangabfall (Defekt) gleich der algebraischen Vielfachheit ist.

Diagonalähnliche Matrix

Wegen ihrer Bedeutung in der PraxisVorlage:Rp, beschränkt sich die Darstellung auf reelle symmetrische Matrizen, die immer spektral zerlegt werden können. Des Weiteren wird der n-dimensionale Raum ℝⁿ benutzt, in dem sich Summen, angezeigt durch Σ_j, immer über j = 1,…,n erstrecken.

Eigenwertproblem

Ausgangspunkt ist das Eigenwertproblem einer Matrix M

Mû = λû, û ≠ ô

mit nicht-trivialen, vom Nullvektor ô verschiedenen Lösungen û. Der Skalar λ ist Eigenwert der Matrix M, wenn es wenigstens einen solchen Vektor û gibt.Vorlage:Rp Die Vektoren û, die der Bedingung ersprechen, sind die zu λ gehörenden Eigenvektoren der Matrix M. Mit û ist auch jedes Vielfache von û Eigenvektor, weswegen sie oft, aber nicht notwendigerweise, auf Länge eins normiert werden. Mit der Einheitsmatrix E kann das Eigenwertproblem

( M - λE )û = ô, û ≠ ô

geschrieben werden. Damit nicht-triviale Lösungen des Eigenwertproblems existieren, muss die Matrix in den Klammern singulär sein:

p(λ) := det( M - λE ) = 0

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) sind die Eigenwerte, deren Gesamtheit das Spektrum und dessen betraglich größtes Element den Spektralradius der Matrix M bilden.

Diagonalisierbarkeit einer reellen symmetrischen Matrix

Der Spektralsatz besagt, dass M genau dann diagonalisiert werden kann, wenn

• sie eine normale Matrix ist, sie also mit ihrer transponierten kommutiert (M^⊤M = MM^⊤), und
• alle Eigenwerte zur Grundmenge gehören, hier reell sind.

Reelle symmetrische Matrizen sind normal (wegen M = M^⊤ ist M^⊤M = MM = MM^⊤) und besitzen ausschließlich reelle Eigenwerte.Vorlage:Rp Denn mit einem komplexen Eigenvektor û und seinem konjugiert komplex transponierten û^⋆ ist zunächst

û^⋆ Mû = û^⋆ λû = λû^⋆ û = λ|û|²

mit dem Betragsquadrat |û|²  ∈ ℝ, > 0. Bei einer Zahl, aufgefasst als 1×1-Matrix, richtet die Transposition nichts aus, weshalb

û^⋆ Mû = (û^⋆ Mû)^⊤ = û^⊤ Mû^⋆⊤ = Vorlage:OberstrichMVorlage:Oberstrich = Vorlage:Oberstrich = Vorlage:Oberstrich = Vorlage:Oberstrich = Vorlage:Oberstrich|û|²

Der Überstrich bezeichnet den konjugiert komplexen Wert. Es ist also λ|û|² = Vorlage:Oberstrich|û|², λ reell und erwiesen, dass jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar ist.

Ferner gilt:

• bei jedem Eigenwert entspricht die geometrische Vielfachheit seiner algebraischenVorlage:Rp,
• es gibt eine Vektorraumbasis des ℝⁿ, die aus den Eigenvektoren von M bestehtVorlage:Rp und
• es gibt eine orthogonale Matrix Q, sodass Q^⊤ MQ Diagonalgestalt besitzt.

Orthogonalität der Eigenvektoren

Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal zueinander, denn bei zwei Eigenwert-Eigenvektor-Paaren Mû = λû und Mŵ = ηŵ ist bei symmetrischer Matrix M

ŵ^⊤ Mû = λŵ^⊤ û = (ŵ^⊤ Mû)^⊤ = û^⊤ Mŵ = ηû^⊤ ŵ = ηŵ^⊤ û

was bei λ ≠ η die Orthogonalität û^⊤ ŵ = ŵ^⊤ û = 0 erzwingt.

Bei gleichen Eigenwerten gilt das nicht, sondern vielmehr, weil die geometrische Vielfachheit der algebraischen entspricht, dass die zu einem k-fachen Eigenwert λ gehörenden Eigenvektoren einen k-dimensionalen Unterraum bilden, den Eigenraum von λ. Bei einem doppelten Eigenwert erschaffen alle zu ihm gehörenden Eigenvektoren beispielsweise eine zweidimensionale (Hyper-) Ebene. Für die spektrale Zerlegung ist jede Orthonormalbasis des Eigenraums gleich geeignet.

Jedenfalls gibt es n paarweise orthogonale Eigenvektoren û_1,…,n; diese werden auf Länge eins normiert und bilden so eine Orthonormalbasis des ℝⁿ. Die Basisvektoren werden mit der Standardbasis ê_1,…,n spaltenweise in eine Matrix Q einsortiert:

Q = Σ_i û_i ê_i^⊤

Für Q gilt dann nach Konstruktion

1. Q^⊤ Q = E, d. h. Q ist eine orthogonale Matrix und
2. MQ = QΛ oder Λ = Q^⊤ MQ, wo Λ die diagonale #Spektralmatrix ist.

Spektralzerlegung der Matrix

Bei einer reellen symmetrischen Matrix M gibt es eine orthogonale Matrix Q, sodass Λ = Q^⊤MQ Diagonalgestalt besitzt.Vorlage:Rp Die #Spektralmatrix lässt sich mit der Standardbasis ê_1,…,n als Summe ausdrücken:

Λ := diag(λ₁, λ₂,…, λ_n) = Σ_j λ_j ê_j ê_j^⊤

Die Rücktransformation M = QΛQ^⊤ schreibt sich mit den Spaltenvektoren û_i der Matrix Q und den Eigendyaden

P_j = û_j û_j^⊤

als Summe

M = QΛQ^⊤ = (Σ_i û_i ê_i^⊤)(Σ_j λ_j ê_j ê_j^⊤)(Σ_k ê_k û_k^⊤) = Σ_j λ_j û_j û_j^⊤ =: Σ_j λ_j P_j.

Das ist die spektrale Zerlegung der Matrix M.

Die Eigendyaden P_j genügen den Bedingungen in der #Definition:

P_i P_j = û_i û_i^⊤ û_j û_j^⊤ = (û_i^⊤ û_j)û_i û_j^⊤ = O,    wenn    i ≠ j,

P_i P_j = (û_i^⊤ û_j) û_i û_j^⊤ = û_i û_i^⊤ = P_i,    wenn    j = i.

Σ_i P_i = Σ_i û_i û_i^⊤ = Σ_i,j û_i (ê_i^⊤ ê_j)û_j^⊤ = Σ_i,j û_i ê_i^⊤ ê_j û_j^⊤ = (Σ_i û_i ê_i^⊤)(Σ_j ê_j û_j^⊤) = QQ^⊤ = E

mit der Nullmatrix O und der Einheitsmatrix E.

Anwendungen der Spektralzerlegung

Inverse einer Matrix

Mit der spektralen Zerlegung einer reellen Matrix M kann die inverse Matrix M⁻¹ sofort angegeben werden, sofern sie existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte λ_i der Matrix ist, nicht null ist, also kein Eigenwert gleich null ist. Die Inverse hat die reziproken Eigenwerte λ_i⁻¹ und die gleichen Eigenvektoren wie die Matrix selbst. Mit der spektralen Zerlegung M = Σ_j λ_j P_j schreibt sich die Inverse als

M⁻¹ = λ₁⁻¹ P₁ + … + λ_n⁻¹ P_n.

Funktionswert einer Matrix

Für eine skalarwertige Funktion f(x) ∈ ℝ eines skalaren Arguments x ∈ ℝ kann der Funktionswert f(M) einer diagonalisierbaren Matrix M mit Hilfe ihrer Spektralzerlegung M = Σ_j λ_j P_j definiert werden:

f(M) := Σ_j f(λ_j) P_j

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel, mit k alternativen Werten, dann steht f(M) mehrdeutig für kⁿ alternative Matrizen. Die nullte Potenz der Matrix ergibt sich beispielsweise aus f(x) = x⁰ zur Einheitsmatrix E:

f(M) = Σ_j λ_j⁰ P_j = Σ_j P_j = M⁰ = E

Bei einer Potenzreihe einer Matrix ist die spektrale Zerlegung nützlich. Soll

p(M) := a₀ E + a₁ M¹ +…+ a_N M^N

mit konstanten Koeffizienten a₀,…, a_N ∈ ℝ berechnet werden, kann das mit dem Polynom

f(x) := a₀ x⁰ + a₁ x¹ +…+ a_N x^N

und obiger Definition des Funktionswerts einer diagonalisierbaren Matrix vermöge

p(M) = f(M) = Σ_j f(λ_j) P_j

abgekürzt werden. Die Berechnung von N k-ten Potenzen der n×n-Matrix M ist somit zurückgeführt auf eine Spektralzerlegung und die Berechnung von N k-ten Potenzen von n Skalaren.

Modalanalyse

Vorlage:HauptartikelVorlage:Siehe auch Die mechanische Beschreibung eines ungedämpften schwingfähigen Systems, z. B. eines Masse-Feder-Systems, führt auf eine Schwingungsgleichung der Form

Mẍ + Kx = F

Darin ist M die positiv definite Massenmatrix, K die Steifigkeitsmatrix, beide symmetrisch und reell, x der Verschiebungsvektor und ẍ der Beschleunigungsvektor, der die zweite Zeitableitung von x ist, angezeigt durch die Überpunkte. Die rechte Seite repräsentiert die Anregung des Systems, auf die es mitunter katastrophal reagiert, wenn bei einer bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz, dauerhaft

Mẍ + Kx = ô

der Nullvektor ô ist. In der Nähe der Resonanzfrequenzen, die entsprechend von großem Interesse sind, wird die Schwingung von einer Eigenschwingungsform dominiert, wo in guter Näherung x = sin(ωt)û mit konstantem û, der Eigenfrequenz ω und der Zeit t ist. Mit dem Eigenwert λ = ω² entsteht das verallgemeinerte Eigenwertproblem

( K - λM )û = ô, û ≠ ô

des Matrizenpaares K;M.Vorlage:Rp

Diagonalähnliches Matrizenpaar

Wegen ihrer Bedeutung in der PraxisVorlage:Rp, beschränkt sich die Darstellung auf reelle Matrizen. Des Weiteren wird der n-dimensionale Raum ℝⁿ benutzt, weswegen sich Summen, angezeigt durch Σ_j, immer über j = 1,…,n erstrecken.

Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Ausgangspunkt des verallgemeinerten Eigenwertproblems des Matrizenpaares K;MVorlage:Rp ist

( K - λM )û = ô, û ≠ ô

mit nicht-trivialen, vom Nullvektor ô verschiedenen Lösungen û. Der Skalar λ ist Eigenwert des Matrizenpaares K;M, wenn es wenigstens einen solchen Vektor û gibt. Die Vektoren û, die die Bedingung erfüllen, sind die zu λ gehörenden Rechtseigenvektoren. Die Linkseigenvektoren ŷ genügen

ŷ^⊤ ( K - λ M ) = ô^⊤, ŷ ≠ ô

Damit nicht-triviale Lösungen des Eigenwertproblems existieren, muss die Matrix in den Klammern singulär sein:

p(λ) := det( K - λM ) = 0

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) sind die Eigenwerte des Matrizenpaares K;M.

Wenn die Leitmatrix M singulär ist, dann gibt es weniger als n Eigenwerte, unter Umständen auch gar keinen. Beim Skalarpaar ist K = aM und λ = a n-facher Eigenwert.Vorlage:Rp Hier wird von regulärer Leitmatrix M ausgegangen.

Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren

Mit den Links- und Rechtseigenvektoren ŷ bzw. û lässt sich das Eigenwertproblem auch so schreiben:Vorlage:Rp

ŷ^⊤ K = λ ŷ^⊤ M,   Kû = λ Mû

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Links- und Rechtseigenvektoren sind bezüglich K und M orthogonal zueinanderVorlage:Rp. Denn wird das Eigenwertproblem zu zwei Eigenwert-Eigenvektor-Paaren

ŷ^⊤ K = λ ŷ^⊤ M, Kû = λ Mû    und    ẑ^⊤ K = η ẑ^⊤ M, Kŵ = η Mŵ

von links und rechts mit den gegnerischen Links- bzw. Rechtseigenvektoren multipliziert, entsteht

ŷ^⊤ Kŵ = λ ŷ^⊤ Mŵ = η ŷ^⊤ Mŵ    und    ẑ^⊤ Kû = λ ẑ^⊤ Mû = η ẑ^⊤ Mû

Bei λ ≠ η sind alle Terme notwendig null, mit der Konsequenz

ŷ^⊤ Kŵ = ŷ^⊤ Mŵ = ẑ^⊤ Kû = ẑ^⊤ Mû = 0

und damit auch

ẑ^⊤ ( K - λ M )û = ŷ^⊤ ( K - η M )ŵ = 0, wenn λ ≠ η

Zudem gilt:Vorlage:Rp

• Ist ein Eigenwert λ komplex, dann ist auch sein konjugiert komplexer Wert Vorlage:Oberstrich Eigenwert, und dieser hat die zu den Eigenvektoren von λ konjugiert komplexen Eigenvektoren.
• Der reale und der imaginäre Anteil eines Eigenvektors sind voneinander linear unabhängig (nicht parallel).

Diagonalisierung des Matrizenpaares

Wenn M eine reguläre Matrix ist, werden die Eigenwerte mit der Standardbasis ê_1,…,n zur #Spektralmatrix

Λ = Σ_j λ_j ê_j ê_j^⊤ = diag(λ₁, λ₂,…,λ_n)

zusammengefasst. Sind zudem alle n Eigenwerte verschieden, dann gibt es zu jedem von ihnen einen Links- und einen Rechtseigenvektor. Die Linkseigenvektoren werden zeilenweise und die Rechtseigenvektoren spaltenweise in reguläreVorlage:Rp Modalmatrizen

Y = Σ_j ê_j ŷ_j^⊤ bzw. U = Σ_j û_j ê_j^⊤

eingelagert. Wegen der paarweisen Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M liefern die Produkte

L = YKU = diag( ŷ_j^⊤ Kû_j )

N = YMU = diag( ŷ_j^⊤ Mû_j )

Diagonalmatrizen. Weil Y, M und U regulär sind, ist es auch N, und dann können die Linkseigenvektoren so skaliert werden, dass N zu einer Einheitsmatrix wird. Das leistet z. B. N selbst:Vorlage:Rp

WKU = Λ, WMU = E    mit    W = N⁻¹ Y

Das Matrizenpaar K;M ist somit diagonalähnlich.

Bei mehrfachen Eigenwerten sind L und N keine strikten Diagonalmatrizen mehr, sondern Blockdiagonalmatrizen, wo sich jeder Block auf einen Eigenwert bezieht und die Dimension seines Eigenraumes die Blockgröße bestimmt. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Außenblöcke in L und N sind wegen der Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M Nullmatrizen.

In der Praxis interessieren zumeist allein die RechtseigenvektorenVorlage:Rp und dann kann, wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit bei jedem Eigenwert übereinstimmen, wie folgt fortgefahren werden. Die zu einem Eigenwert λ gehörenden σ Linkseigenvektoren werden zu einem σ×n-Eigenstreifen Y_λ zusammengefasst und mit dem zugehörigen σ×σ-Block N_λ der Matrix N normiert: W_λ := N_λ⁻¹ Y_λ. Diese Eigenstreifen werden zur Linksmodalmatrix

W = Σ_j ê_j ŵ_j^⊤

zusammengestellt, mit der die Transformation auf das strikte Diagonalpaar

WKU = Λ und WMU = E Vorlage:Anker

gelingt,Vorlage:Rp siehe auch das #Beispiel. Für die normierten Linkseigenvektoren ŵ_i^⊤ in den Zeilen der Linksmodalmatrix W bedeutet das:

ŵ_i^⊤ Kû_i = λ_i    und    ŵ_i^⊤ Mû_i = 1,     i = 1,…,n

und die #Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren bezüglich K und M besteht auch hier:

ŵ_i^⊤ Kû_j = ŵ_i^⊤ Mû_j = 0    falls    i ≠ j.

Spektralzerlegung des Matrizenpaars

Die Identität WMU = E besagt auch, dass MU die inverse Matrix von W und WM die Inverse von U ist, und, weil eine Matrix und ihre Inverse kommutieren, ist auch MUW = UWM = E, mit der Konsequenz:Vorlage:Rp

MUW = M(Σ_j û_j ê_j^⊤) (Σ_i ê_i ŵ_i^⊤) = Σ_j Mû_j ŵ_j^⊤ = E

Mit den Eigendyaden

D_j := Mû_j ŵ_j^⊤ M

entsteht die Spektralzerlegung der Leitmatrix

M = Σ_j D_j

Multiplikation der Gleichung WKU = Λ von links mit MU und von rechts mit WM liefert die Spektralzerlegung von K:

K = MUΛWM = M(Σ_i û_i ê_i^⊤) (Σ_j λ_j ê_j ê_j^⊤) (Σ_k ê_k ŵ_k^⊤) M = Σ_j λ_j Mû_j ŵ_j^⊤ M = Σ_j λ_j D_j

Die Eigendyaden erfüllen die OrthogonalitätsbedingungenVorlage:Rp

ŵ_j^⊤ D_k = ô^⊤,    D_k û_j = ô    und    D_j M⁻¹ D_k = O       für    k ≠ j

sowie die Gegenstücke

ŵ_k^⊤ D_k = ŵ_k^⊤ M,    D_k û_k = M û_k,    D_k M⁻¹ D_k = D_k    für    k = 1,…,n.

Beispiel

Vorgelegt sind die MatrizenVorlage:Rp

$𝖪=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& -3\\ 3& 3& -6\\ 2& 4& -15\end{array}\right)$ und $𝖬=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right),\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(𝖬)=2$

Die charakteristische Gleichung

p(λ) := det( K - λM ) = 90 + 42λ - 2λ² - 2λ³ = (3 + λ)²(5 - λ)

hat die doppelte Nullstelle λ₁ = -3 und die einfache λ₂ = 5. Die Eigenvektoren zum ersten Eigenwert sind nicht-triviale Lösungen von ŷ^⊤ Aû = 0 mit

$𝖠=𝖪+3𝖬=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 3& 6& -9\\ 5& 10& -15\end{array}\right)$

Ihre Bestimmung erfolgt mit dem Generalschema einer Äquivalenztransformation. Dazu werden Einheitsmatrizen E_L, E_R und die Matrix A in einer Hypermatrix angeordnet

EL	A
O	ER

wo O die Nullmatrix ist und im Folgenden nicht mehr aufgeführt wird. Nacheinander werden in den Matrizen E_L und A simultan Zeilen

• mit einer Zahl multipliziert,
• mit einer anderen Zeile vertauscht oder
• mit einer Zahl multipliziert zu einer anderen Zeile addiert.

Entsprechend darf mit den Spalten der Matrizen A und E_R verfahren werden. Daraus wird

L	D
	R

mit der Eigenschaft LAR = D. Die Linkseigenvektoren von A zum Eigenwert null gehören zu Nullzeilen von D und stehen links daneben zeilenweise in L und R enthält die Rechtseigenvektoren spaltenweise, und die gehören zu aus Nullen bestehende Spalten von D, siehe Äquivalenztransformation#Eigenspalten und Eigenzeilen einer singulären Matrix.

Hier entsteht aus

1  1 2  -3   1  3 6 -9  1   5   10   -15  1 1 1

, dem Zwi­schen­schritt

1  0   0   1   2   -3   -3  1 0 0 0 0 -5 0 1 0 0 0 1 1 1

das Endergebnis

1	0	0	1	0	0	D
-3	1	0	0	0	0
-5	0	1	0	0	0
L			1	-2	3
R			0	1	0
			0	0	1

Die gelb unterlegten Nullzeilen in D weisen auf die Linkseigenvektoren

ŷ₁ = (-3 1 0 )^⊤, ŷ₂ = (-5 0 1)^⊤

in den Zeilen von L und die zugehörigen ebenfalls gelb unterlegten Rechtseigenvektoren finden sich unter den Nullspalten von D spaltenweise in R:

û₁ = (-2 1 0 )^⊤, û₂ = (3 0 1)^⊤

Den Links- und Rechtseigenvektor zum Eigenwert 5 bekommt man aus

$𝖠=𝖪-5𝖬=\left(\begin{array}{ccc}-7& 2& -3\\ 3& -2& -1\\ -3& -6& -15\end{array}\right)$

dem Start­punkt

1  -7  2 -3  1  3  -2  -1 1  -3 -6  -15  1 1 1

und dem End­er­geb­nis

1 0 0  -7  2 0  D 0 1 0 3  -2  0  -3   -6   1  0 0 0 L 1 0  -1  R  0 1 -2 0 0 1

Vorlage:Absatz Die Eigenvektoren finden sich in der gelb unterlegten dritten Zeile und sechsten Spalte der Hypermatrix:

ŷ₃ = (-3 -6 1)^⊤ und û₃  = (-1 -2 1)^⊤.

Damit hat man die Modalmatrizen

$𝖸=\left(\begin{array}{c}{\widehat{𝗒}}_1^{\mathrm{\top }}\\ {\widehat{𝗒}}_2^{\mathrm{\top }}\\ {\widehat{𝗒}}_3^{\mathrm{\top }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -5& 0& 1\\ -3& -6& 1\end{array}\right),𝖴=\left(\begin{array}{ccc}{\widehat{𝗎}}_1& {\widehat{𝗎}}_2& {\widehat{𝗎}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

Das Produkt

$𝖭=𝖸𝖬𝖴=\left(\begin{array}{ccc}7& -10& 0\\ 10& -12& 0\\ 0& 0& 16\end{array}\right)$

ist eine Blockdiagonalmatrix. Hier bedeutet die Invertierung von N keinen wesentlichen Mehraufwand gegenüber der getrennten Invertierung jedes ihrer Diagonalblöcke und die Normierung der Linkseigenvektoren kann in einem Schritt erfolgen:

$𝖶=\left(\begin{array}{c}{\widehat{𝗐}}_1^{\mathrm{\top }}\\ {\widehat{𝗐}}_2^{\mathrm{\top }}\\ {\widehat{𝗐}}_3^{\mathrm{\top }}\end{array}\right)={𝖭}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}𝖸=\frac{1}{16}\left(\begin{array}{ccc}-14& -12& 10\\ -5& -10& 7\\ -3& -6& 1\end{array}\right)$

Mit dieser Linksmodalmatrix werden M und K diagonalisiert:

WKU = Λ = diag(λ₁,λ₁,λ₂) und WMU = E

Die Eigendyaden sind ausgeschrieben

$\begin{array}{cc}{𝖣}_1=& 𝖬{\widehat{𝗎}}_1{\widehat{𝗐}}_1^{\mathrm{\top }}𝖬=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -6\\ -1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ {𝖣}_2=& 𝖬{\widehat{𝗎}}_2{\widehat{𝗐}}_2^{\mathrm{\top }}𝖬=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 15\\ -1& -2& -5\\ 3& 6& 15\end{array}\right)\\ {𝖣}_3=& 𝖬{\widehat{𝗎}}_3{\widehat{𝗐}}_3^{\mathrm{\top }}𝖬=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 3& 6& -9\\ 5& 10& -15\end{array}\right)\end{array}$

und geben die spektralen Zerlegungen

$\begin{array}{cc}𝖬=& \frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -6\\ -1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)+\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 15\\ -1& -2& -5\\ 3& 6& 15\end{array}\right)+\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 3& 6& -9\\ 5& 10& -15\end{array}\right)\\ 𝖪=& -\frac{3}{4}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -6\\ -1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)-\frac{3}{8}\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 15\\ -1& -2& -5\\ 3& 6& 15\end{array}\right)+\frac{5}{8}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 3& 6& -9\\ 5& 10& -15\end{array}\right)\end{array}$