Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Die Sorgenfrey-Gerade $R$ ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge $ℝ$ von allen halboffenen Intervallen $[a,b)$ als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle $[a,b)$ darstellbaren Mengen.

Bemerkungen

• Ersetzt man die halboffenen Intervalle $[a,b)$ durch $(a,b]$, so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, $x\mapsto -x$ ist offenbar ein Homöomorphismus.
• Das Produkt $R^2=R\times R$ heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen

Alle Mengen der Form

$(-\mathrm{\infty },a)=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[a-n,a)$

$[a,\mathrm{\infty })=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[a,a+n)$

sind offen. Daher sind die Mengen $[a,b)$ nicht nur offen, sondern wegen $[a,b)=ℝ\setminus ((-\mathrm{\infty },a)\cup [b,\mathrm{\infty }))$ auch abgeschlossen, das heißt $R$ besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall $(a,b)$ ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

$(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a+\frac{1}{n},b)$.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Gerade $R$ hat folgende Eigenschaften:

• $R$ ist ein perfekt normaler Raum.
• $R$ hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
• $R$ ist total unzusammenhängend.
• $R$ ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf $ℝ$.
• $R$ ist separabel ($\mathbb{Q}$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen $[a,a+\frac{1}{n})$ bilden eine Umgebungsbasis von $a\in R$), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• $R$ ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• $R$ ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Literatur

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