Sorgenfrey-Ebene

Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Ist $R$ die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt $R^2=R\times R$ mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade $R$ derjenige topologische Raum, der auf der Menge $ℝ$ von allen halboffenen Intervallen $[a,b)$ als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle $[a,b)$ darstellbaren Mengen.

Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also ${ℝ}^2$ und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form $[a,b)\times [c,d)$ als Basis erzeugt.

Beispiele offener Mengen

Da die Mengen $[a,b)$ in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für $[a,b)\times [c,d)\subset R^2$. Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck $(a,b)\times (c,d)$ ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn

$(a,b)\times (c,d)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a+\frac{1}{n},b)\times [c+\frac{1}{n},d)$.

Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist daher echt feiner als die euklidische Topologie.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Ebene $R^2$ hat folgende Eigenschaften:

• $R^2$ ist als Produkt eines vollständig regulären Raumes vollständig regulär.
• $R^2$ ist total unzusammenhängend.
• $R^2$ hat die lebesguesche Überdeckungsdimension $\mathrm{\infty }$.
• $R^2$ ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf ${ℝ}^2$.
• $R^2$ ist separabel (${\mathbb{Q}}^2$ liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen $[a,a+\frac{1}{n})\times [b,b+\frac{1}{n})$ bilden eine Umgebungsbasis von $(a,b)\in R^2$), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
• $R^2$ ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
• $R^2$ ist kein normaler Raum (siehe unten).

Gegenbeispiele

Der Unterraum $D$ trägt die diskrete Topologie.

Die Menge $D:=\{(x,-x);x\in R\}\subset R^2$ trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt $(x,-x)\in D$ gilt $\{(x,-x)\}=D\cap [x,x+1)\times [-x,-x+1)$, wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.

Insbesondere ist $D$ mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.

$D$ als Teilmenge von $R^2$ ist abgeschlossen, da $D$ schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von $D$ ist dann jede Teilmenge von $D$ abgeschlossen in $R^2$. Setzt man $E:=\{(x,-x);x\in \mathbb{Q}\}\subset R^2$, so sind $E$ und $D\setminus E$ zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. $R^2$ ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.

Literatur

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