Smarandache-Konstanten

In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext

Bezeichnet $p_n$ die $n$-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle $n$ $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.$ Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern: $p_{n+1}^a-p_n^a<1\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}a<a_0.$ Diese Obergrenze für $a_0$, ungefähr $0,56714813...$, wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. $a_0$ ist Lösung der Gleichung $p_{31}^x-p_{30}^x=127^x-113^x=1$.

2.

Die Smarandache-Funktion $\mu (n)$ ist wie folgt definiert: $\mu (n)$ ist die kleinste natürliche Zahl, für die $\mu (n)!$ durch $n$ teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert $\mu (8)$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist $\mu (8)=4$. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

$s_1=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (n)!}=1,093170459...$

Deren Konvergenz ist mit $\mu (n)\le n$ und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: $\sum \frac{1}{\mu (n)!}<\sum \frac{1}{n!}=e$.

Die Nachkommastellen bilden Vorlage:OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

$s_2=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n!}=1,7140062935916...$

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Vorlage:OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

$s_3=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}=0,7199607000437...$

Ihre Nachkommastellen ergeben die Vorlage:OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen $\alpha \ge 1$:

$s_4(\alpha )=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}$

Die ersten Werte für natürliche $\alpha$:

$\alpha$	$S_4(\alpha )$
1	1,7287576053...	(Vorlage:OEIS)
2	4,5025120061...	(Vorlage:OEIS)
3	13,011144194...	(Vorlage:OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

$s_5=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}\mu (n)}{n!}$

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

$s_6=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{(n+1)!},$

konvergiert gegen einen Wert $0,218282<s_6<0,5$.

Allgemeiner konvergieren sogar

$s_7=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{(n+k)!}\text{und}{s}_8=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{(n-k)!}$

für natürliche (bzw. ganze) $k=0$.

Außerdem konvergiert

$s_9=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{\mu (2)}{2!}+\frac{\mu (3)}{3!}+\cdots +\frac{\mu (n)}{n!}}.$

Zwei weitere Reihen sind

$s_{10}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (n{)}^{\alpha }\sqrt{\mu (n)!}}$

und

$s_{11}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (n{)}^{\alpha }\sqrt{(\mu (n)+1)!}}$

Diese konvergieren für alle $a>1$.

Sei $f:\mathbb{N}\to ℝ$ eine Funktion, für die gilt

$f(t)\le \frac{c}{t^{\alpha }\cdot d(t!)-d((n-1)!)}$

wobei $t>0$ natürlich und $\alpha >1,c>12$ konstant sein sollen; $d(n)$ bezeichne die Anzahl der Teiler von $n$. Dann gilt:

$s_{12}(f)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(\mu (n))$

ist konvergent.

Außerdem ist auch

$s_{13}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (1)!\cdot \mu (2)!\cdots \mu (n)!}$

konvergent, ebenso wie

$s_{14}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mu (n)!\cdot \sqrt{\mu (n)!}\cdot \log {(\mu (n))}^{\alpha }}$

für $\alpha >1$.

Eine weitere konvergente Reihe ist

$s_{15}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{\mu (2^n)!}.$

Schließlich konvergiert auch

$s_{16}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^{\alpha +1}}$

für alle $\alpha >1$.

Referenzen

Einen Überblick geben

• Vorlage:MathWorld
• Smarandache Function in PlanetMath
• Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT

Detaillierte Arbeiten sind

• I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
• dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.

• E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.

• E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.

• A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor

• J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.