Siegelscher Halbraum

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie bezeichnet der siegelsche Halbraum oder die siegelsche Halbebene eine Verallgemeinerung der Halbebene. Dieser Raum ist benannt nach dem Mathematiker Carl Ludwig Siegel, der dieses Objekt systematisch untersuchte.

Definition

Der siegelsche (obere) Halbraum ${\mathscr{H}}^g$ von Grad $g\in \mathbb{N}$ ist definiert als die Menge der komplexen symmetrischen $(g\times g)$-Matrizen, deren Imaginärteil positiv definit ist.

Wirkung der symplektischen Gruppe

Die symplektische Gruppe $Sp(2g,ℝ)$ wirkt auf dem siegelschen Halbraum durch

$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)Z=(AZ+B)(CZ+D{)}^{-1}$.

Diese Wirkung ist transitiv, ihre Stabilisatoren sind konjugiert zur orthogonalen Gruppe $SO(2g)$.

Man kann den siegelschen Halbraum mit einer riemannschen Metrik versehen, durch die er ein symmetrischer Raum wird isometrisch zu $Sp(2g,ℝ)/SO(2g)$.

Anmerkungen

• Im Fall $g=1$ ist der siegelsche Halbraum die bekannte obere Halbebene $ℍ:=\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}(z)>0\}$.
• Der siegelsche obere Halbraum trägt eine Operation der symplektischen Gruppe ${\mathrm{Sp}}_{2g}(\mathbb{Z})$. Der Quotient ist der Modulraum der prinzipal-polarisierten abelschen Varietäten. Im Fall $g=1$ parametrisiert der Quotientenraum ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})\mathrm{\setminus }ℍ$ elliptische Kurven. Die j-Funktion gibt dabei die j-Invariante der Kurve an.
• Ichirō Satake gab 1957 eine Kompaktifizierung des siegelschen Halbraums an.

Mehrdimensionale Thetareihe

Der siegelsche Halbraum spielt als Verallgemeinerung der oberen Halbebene eine wichtige Rolle bei der Definition der Thetareihe in mehreren komplexen Variablen. Die mehrdimensionale Thetareihe ist eine Funktion

$\theta :{ℂ}^g\times {\mathscr{H}}^g\to ℂ,$

die durch

$\theta (z,T)=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}^g}\exp (\pi i⟨n,2z+Tn⟩)$

definiert ist. Diese Reihe konvergiert normal und stellt daher eine holomorphe Funktion dar.

Literatur

• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. 2. ergänzte und verbesserte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-642-01710-0.