Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei $X$ ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen $f:X\to ℂ$ und eine beliebige Teilmenge $A$ von $X$ sei

$\Vert f{\Vert }_A:=\underset{x\in A}{\sup }|f(x)|$

die Supremumsnorm. Eine Reihe ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ von Funktionen $f_n:X\to ℂ$ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung $U$ von $x$ gibt, sodass gilt:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert f_n{\Vert }_U<\mathrm{\infty }$

Beispiel

Betrachte die Funktionenfolge $f_n(x):=x^n$ auf dem kompakten Intervall $I:=[-q,q]$ mit $0<q<1$. Dann ist $\Vert f_n{\Vert }_I=q^n$ und die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert f_n{\Vert }_I=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$

konvergiert (als geometrische Reihe wegen $|q|<1$). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion $x\mapsto \frac{1}{1-x}$ ist stetig auf $I$.

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in $X$ normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt $x_0\in X$ gibt es eine Umgebung $U(x_0)$, in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

• Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
• Sind alle $f_n$ stetig, so ist auch die Grenzfunktion ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ stetig, wenn ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ normal konvergiert.
• Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

Literatur

• R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.