Schwach unbedingte Cauchy-Reihe

Schwach unbedingte Cauchy-Reihen, auch schwach unbedingt konvergente Reihen oder kürzer WUC-Reihen genannt, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um nicht notwendigerweise konvergente Reihen in Banachräumen mit einer gewissen Zusatzeigenschaft.

Definition

Es seien $X$ ein Banachraum, $X^{*}$ sein Dualraum und $\sum _n{x}_n$ eine Reihe in $X$, womit wie immer die Folge der Partialsummen gemeint ist. Die Reihe heißt schwach unbedingt Cauchy oder schwach unbedingt konvergent, falls $\sum _{n\in \mathbb{N}}|x^{*}(x_n)|<\mathrm{\infty }$ für jedes stetige, lineare Funktional aus $X^{*}$ gilt.

Diese Eigenschaft wird nach der englischen Bezeichnung weakly unconditionally Cauchy bzw. weakly unconditionally convergent auch mit WUC abgekürzt.

Bemerkungen

Die Bezeichnung schwach in obiger Definition meint, dass es sich um eine Eigenschaft handelt, die bezüglich jedem $x^{*}\in X^{*}$ gelten muss.

Der Namensbestandteil unbedingt rührt daher, dass man die Bedingung $\sum _{n\in \mathbb{N}}|x^{*}(x_n)|<\mathrm{\infty }$ auch durch die unbedingte Konvergenz der Reihe $\sum _{n\in \mathbb{N}}{x}^{*}(x_n)$ ersetzen kann, denn im Grundkörper stimmen unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz überein. Eine unmittelbare Konsequenz aus dieser Beobachtung ist, dass jede Umordnung einer WUC-Reihe wieder WUC ist.

Da die Folge der Partialsummen einer WUC-Reihe offenbar eine schwache Cauchy-Folge ist, erklärt sich auch der Namensbestandteil Cauchy. Die Verwendung von konvergent kann irreführend sein, denn es liegt im Allgemeinen keine schwache Konvergenz der Reihe vor.

Charakterisierung

Für eine Reihe $\sum _n{x}_n$ in einem Banachraum $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $\sum _n{x}_n$ ist WUC
• Es gibt eine Konstante $C>0$, so dass

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert \sum _{k=1}^n{t}_k{x}_k\Vert \le C\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|t_n|$

für alle Folgen $(t_n{)}_n$ aus dem Folgenraum ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ gilt.

• Es gibt eine Konstante $C>0$, so dass

$\underset{n\in F}{\sup }\Vert \sum _{k=1}^n{t}_k{x}_k\Vert \le C$

für jede endliche Teilmenge $F\subset \mathbb{N}$ und jede Wahl von Vorzeichen $t_n\in \{-1,+1\}$ gilt.

• Für jede Nullfolge $(t_n{)}_n\in c_0$ konvergiert $\sum _n{t}_n{x}_n$ in $X$
• Es gibt einen stetigen, linearen Operator $T:c_0\to X$ mit $T(e_n)=x_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$, wobei $e_n$ die n-te Einheitsfolge in $c_0$ sei, das heißt $e_n$ ist die Folge, die an n-ter Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat.

Vergleich mit unbedingter Konvergenz

Es ist klar, dass unbedingt konvergente Reihen WUC sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte dazu die Reihe $\sum _n{e}_n$ der Einheitsfolgen in $c_0$. Jedes $x^{*}\in c_0^{*}$ wird bekanntlich durch eine absolutkonvergente Reihe $({\xi }_n{)}_n\in {\ell }^1$ gegeben. Daher ist

$\sum _{n\in \mathbb{N}}|x^{*}(e_n)|=\sum _{n\in \mathbb{N}}|{\xi }_n\cdot 1|<\mathrm{\infty }$,

das heißt, $\sum _n{e}_n$ ist WUC. Aber diese Reihe konvergiert nicht in $c_0$, ist also insbesondere nicht unbedingt konvergent. Der folgende Satz gibt Bedingungen an, unter denen eine WUC-Reihe unbedingt konvergiert.

• Es sei $\sum _n{x}_n$ eine WUC-Reihe in einem Banachraum $X$ und $T$ sei der nach obiger Charakterisierung existierende Operator $T:c_0\to X$ mit $T(e_n)=x_n$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • $\sum _n{x}_n$ ist unbedingt konvergent.
  • T ist kompakt.
  • T ist schwach kompakt
  • T ist strikt singulär.

Nach dem folgenden auf Czesław Bessaga und Aleksander Pełczyński zurückgehen Satz kann man die Räume, in denen jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, charakterisieren. Dieser Satz zeigt gleichzeitig, dass das oben angegebene Gegenbeispiel im Wesentlichen das einzige ist.

• Ein Banachraum hat genau dann die Eigenschaft, dass jede WUC-Reihe unbedingt konvergiert, wenn er keinen zu $c_0$ isomorphen Unterbanachraum enthält.