Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum $L^2$ der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche $L^2$-Norm haben.

Aussage

Es existiert eine Isometrie $\mathrm{\Psi }:L^2({ℝ}^n)\to L^2({ℝ}^n)$, die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

$\mathrm{\Psi }(f)=ℱ(f)$

für alle $f\in 𝒮$, wobei

• $ℱ$ die Fourier-Transformation und
• $𝒮$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

1. Die Gleichheit $\mathrm{\Psi }(f)=ℱ(f)$ gilt nicht nur für $f\in 𝒮$, sondern auch für $f\in L^1({ℝ}^n)\cap L^2({ℝ}^n)$, da $𝒮$ sowohl in $L^1({ℝ}^n)$ als auch in $L^2({ℝ}^n)$ dicht liegt. Da $\mathrm{\Psi }$ auf $L^2({ℝ}^n)$ und die Fourier-Transformation $ℱ$ auf $L^1({ℝ}^n)$ definiert ist, kann man $\mathrm{\Psi }$ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf $L^2({ℝ}^n)$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.

Siehe auch

• Harmonische Analyse

Literatur

• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8

Weblinks

• Plancherel's Theorem by Mathworld