Satz von Kunugui

Der Satz von Kunugui besagt, dass sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.

Formulierung

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Falls $X=\mathrm{\varnothing }$ leer ist, so lässt sich $X$ trivial einbetten, andernfalls sei $s\in X$ ein fest gewählter Punkt. Für jedes $x\in X$ sei nun durch $f_x(y):=d(x,y)-d(y,s)$ eine reelle Funktion auf $X$ erklärt. Dann ist die Abbildung $x\mapsto f_x$ eine Isometrie von $(X,d)$ in den Banachraum $B(X)=\{f:X\to ℝ\mid f\text{ beschränkt}\}$ der beschränkten Funktionen.

Anmerkungen

Die obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die $f_x$ alle (bzgl. der Supremumsnorm) beschränkt sind und, dass die Zuordnung $x\mapsto f_x$ tatsächlich eine Isometrie ist. Beides folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung. Es gilt per Definition

$\Vert f_x\Vert =\underset{y\in X}{\sup }|f_x(y)|=\underset{y\in X}{\sup }|d(x,y)-d(y,s)|$.

Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens $d(x,s)$ und da $s\in X$ fest gewählt ist, ist $f_x$ beschränkt. Außerdem gilt für zwei Punkte $x,x^{\prime }\in X$, dass

$\Vert f_x-f_{x^{\prime }}\Vert =\underset{y\in X}{\sup }|(d(x,y)-d(y,s))-(d(x^{\prime },y)-d(y,s))|=\underset{y\in X}{\sup }|d(x,y)-d(x^{\prime },y)|$.

Der letzte Term ist höchsten $d(x,x^{\prime })$ und wenn man für $y$ z. B. den Punkt $x$ einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit $\Vert f_x-f_{x^{\prime }}\Vert =d(x,x^{\prime })$ gilt.

Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand $d(x,y)$ den Term $d(y,s)$ abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung $f_x:X\to ℝ$ zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist. Beispielsweise ist der Raum $ℝ\setminus \{0\}$ mit der euklidischen Metrik unvollständig – unter anderem konvergiert die Cauchy-Folge $(1/n{)}_{n\ge 1}$ nicht – aber er lässt sich dennoch durch die Inklusion isometrisch in den vollständigen Raum $ℝ$ einbetten.

Literatur

• Kinjirô Kunugui: Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles. In: Proceedings of the Imperial Academy. 11, 9, 1935, Vorlage:ISSN, S. 351–353.