Satz von Bott-Samelson

In der Mathematik ist der Satz von Bott-Samelson ein Lehrsatz aus der algebraischen Topologie, mit dessen Hilfe man die Homologie von Schleifenräumen berechnen kann.

Satz

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum, $\mathrm{\Sigma }X$ seine Einhängung und $\mathrm{\Omega }\mathrm{\Sigma }X$ der Schleifenraum der Einhängung. Wir bezeichnen mit $\sigma X\to \mathrm{\Omega }\mathrm{\Sigma }X$ die adjungierte Abbildung zur Identitätsabbildung $id:\mathrm{\Sigma }X\to \mathrm{\Sigma }X$.

Sei $R$ ein Hauptidealring, so dass die Homologie $H_{*}(X;R)$ torsionsfrei ist. Wir bezeichnen mit $\widetilde{H_{*}}(X;R)$ die reduzierte Homologie.

Dann wird durch die Abbildung

${\sigma }_{*}:\widetilde{H_{*}}(X;R)\to H_{*}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\Sigma }X;R)$

für die erzeugte Tensoralgebra ein Isomorphismus von Algebren

$T(\widetilde{H_{*}}(X;R))\to H_{*}(\mathrm{\Omega }\mathrm{\Sigma }X;R)$

induziert.

Beispiel

Für die Sphäre $S^n$ hat die reduzierte Homologie einen Erzeuger in Grad $n$ und ist in allen anderen Graden trivial. Mit dem Satz von Bott-Samelson ist dann wegen $\mathrm{\Sigma }{S}^n=S^{n+1}$ also die Homologie von $\mathrm{\Omega }{S}^{n+1}$ als Algebra isomorph zu der von einem Element in Grad $n$ erzeugten Tensoralgebra.

Insbesondere ist $H_{kn}(\mathrm{\Omega }{S}^{n+1})=\mathbb{Z}$ für alle $k\ge 1$ und $H_{*}(\mathrm{\Omega }{S}^{n+1})$ für alle $*=kn$.

Weblinks

• T. Cutler: The Bott-Samelson Theorem