Satz von Barratt-Priddy-Quillen

Der Satz von Barratt-Priddy-Quillen ist ein Lehrsatz aus der stabilen Homotopietheorie, einem Teilgebiet der algebraischen Topologie innerhalb der Mathematik. Er ist nach Michael Barratt, Stewart Priddy und Daniel Gray Quillen benannt.

Aussage

Bezeichne $S^n$ die $n$-dimensionale Sphäre und $Ma{p}_0(S^n,S^n)$ den Raum der Abbildungen $f:S^n\to S^n$ vom Grad 0 mit $f(x)=x$ für einen fest gewählten Punkt $x\in S^n$, mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz. Weiter bezeichne ${\mathrm{\Sigma }}_n$ die symmetrische Gruppe aus $n$ Elementen und ${\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}=\bigcup _n{\mathrm{\Sigma }}_n$ sowie $H_k({\mathrm{\Sigma }}_n)$ die $k$-te Homologiegruppe.

Der Satz von Barratt-Priddy besagt

$H_k({\mathrm{\Sigma }}_n)=H_k(Ma{p}_0(S^n,S^n))$

für alle $n\ge 2k$.

Eine äquivalente Formulierung besagt

$\mathbb{Z}\times B{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}^{+}\simeq {\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}{S}^{\mathrm{\infty }}$.

Hierbei bezeichnet $B{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}^{+}$ die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum $B{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}$.

Insbesondere erhält man den folgenden Zusammenhang zur stabilen Homotopiegruppe der Sphäre:

${\pi }_i(B{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{\infty }}^{+})={\pi }_i^s(S^0)$

Literatur

• M. Barratt, S. Priddy: On the homology of non-connected monoids and their associated groups, Commentarii Mathematici Helvetici 47, 1–14