Riesz-Potential

Das Riesz-Potential in der Mathematik ist ein Potential, das nach dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz benannt ist. In gewisser Weise definiert das Riesz-Potential ein Inverses für eine Potenz des Laplace-Operators im euklidischen Raum und verallgemeinert somit die Riemann-Liouville-Integrale einer Variable auf mehrere Variablen.

Definition

Sei $0<\alpha <n$, dann ist das Riesz-Potential $I_{\alpha }f$ einer lokal integrierbaren Funktion $f$ auf ${𝐑}^n$ die Funktion, die definiert ist durch

$\left(I_{\alpha }f\right)(x)=\frac{1}{c_{\alpha }}\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{f(y)}{|x-y{|}^{n-\alpha }}\mathrm{d}y$,

wobei die Konstante gegeben ist durch

$c_{\alpha }={\pi }^{n/2}{2}^{\alpha }\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha /2)}{\mathrm{\Gamma }((n-\alpha )/2)}$.

Dieses singuläre Integral ist wohldefiniert, sofern $f$ ausreichend schnell gegen unendlich abfällt, speziell wenn $f\in L^p\left({𝐑}^n\right)$ mit $1\le p<n/\alpha$. Tatsächlich gilt für jedes $1\le p$, dass die Zerfallsrate von $f$ und die von $I_{\alpha }f$ in folgender Weise miteinander verbunden sind

${\Vert I_{\alpha }f\Vert }_{p^{*}}\le C_p\Vert Rf{\Vert }_p,p^{*}=\frac{np}{n-\alpha p}$,

wobei $Rf=D{I}_{1}f$ die vektorwertige Riesz-Transformation ist. Allgemeiner sind die Operatoren $I_{\alpha }$ für komplexe $\alpha$ wohldefiniert, sofern $0<\mathrm{Re}(\alpha )<n$.

Das Riesz-Potential kann auch allgemeiner im schwachen Sinne als die Faltung

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

definiert werden, wobei $K_{\alpha }$ die lokal integrierbare Funktion

$K_{\alpha }(x)=\frac{1}{c_{\alpha }}\frac{1}{|x{|}^{n-\alpha }}$

ist. Das Riesz-Potential kann daher dann definiert werden, wenn $f$ eine kompakt getragene Distribution ist. In diesem Zusammenhang ist das Riesz-Potential eines positiven Borelmaßes $\mu$ mit kompaktem Träger besonders in der Potentialtheorie von Interesse, da $I_{\alpha }\mu$ außerhalb des Trägers von $\mu$ eine (stetige) subharmonische Funktion ist und auf ganz ${𝐑}^n$ unterhalbstetig ist.

Eigenschaften

Die Betrachtung der Fourier-Transformation zeigt, dass das Riesz-Potential ein Fourier-Multiplier ist. Tatsächlich gilt:

$\widehat{K_{\alpha }}(\xi )=\underset{{ℝ}^n}{\int }{K}_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm{d}x=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }$

und daher, gemäß dem Faltungssatz:

$\widehat{I_{\alpha }f}(\xi )=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }\hat{f}(\xi )$

Die Riesz-Potentiale erfüllen die folgende Halbgruppen-Eigenschaft, beispielsweise für schnell abfallende stetige Funktionen:

$I_{\alpha }{I}_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

vorausgesetzt, dass

$0<\mathrm{Re}(\alpha ),\mathrm{Re}(\beta )<n,0<\mathrm{Re}(\alpha +\beta )<n$

Des Weiteren gilt, falls $0<\mathrm{Re}(\alpha )<n-2$:

$\mathrm{\Delta }{I}_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\mathrm{\Delta }=-I_{\alpha }$

Außerdem gilt für diese Klasse von Funktionen:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\alpha \to 0^{+}}\left(I_{\alpha }f\right)(x)=f(x)$

Siehe auch

• Sobolev-Raum

Literatur

• Riesz, Marcel: L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy. Acta Mathematica 81, Seiten 1–223, 1949
• Landkof, N. S.: Foundations of modern potential theory. Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-3-642-65185-4
• Stein, Elias: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8