Reziprokenregel

Die Reziprokenregel oder Kehrwertregel dient zur Ableitung von Funktionen der Form $f(x)=\frac{1}{v(x)}.$ In Kurzschreibweise lautet sie

$\left(\frac{1}{v}\right)=-\frac{v^{\prime }}{v^2}.$

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion $u(x)=1$ im Zähler aufgefasst werden.

Regel

Ist die Funktion $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_0$ mit $v(x_0)\ne 0$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f$ mit $f(x)=1/v(x)$ an der Stelle $x_0$differenzierbar und es gilt

$f^{\prime }(x_0)=-\frac{v^{\prime }(x_0)}{(v(x_0){)}^2}.$

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

$f(x)=\frac{1}{\sin (x)}$

berechnet sich an allen Stellen $x$ mit $\sin (x)\ne 0$ nach der Reziprokenregel zu

$f^{\prime }(x)=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Beweis

Ist $v$ an $x_0$ differenzierbar, so ist $v$ dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung $v(x_0)\ne 0$ gibt es deshalb eine Umgebung von $x_0$, in der überall $v(x)\ne 0$ ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

$\frac{1/v(x)-1/v(x_0)}{x-x_0}$

von $f(x)=1/v(x)$ wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

$-\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{v(x)v(x_0)}$.

Beim Grenzübergang $x\to x_0$ strebt der erste Faktor gegen $v^{\prime }(x_0)$ und der zweite Faktor gegen $1/v(x_0{)}^2$. Also ist

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\frac{v^{\prime }(x_0)}{v(x_0{)}^2}.$