Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Regel

Sind die Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle $x_0\in D$ mit $v(x_0)\ne 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion $f$ mit

$f(x):=\frac{u(x)}{v(x)}$

an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt

$f^{\prime }(x_0)=\frac{u^{\prime }(x_0)\cdot v(x_0)-u(x_0)\cdot v^{\prime }(x_0)}{(v(x_0){)}^2}$.

Beispiel

Für $f(x)=\frac{x^2-1}{2-3x}$ erhält man für $x\ne \frac{2}{3}$ durch Anwendung der Quotientenregel

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{2x\cdot (2-3x)-(x^2-1)\cdot (-3)}{(2-3x{)}^2}\\ \end{array}$.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Termen ergibt

$f^{\prime }(x)=\frac{-3x^2+4x-3}{(2-3x{)}^2}$.

Herleitung

Quotientenregel

Der Quotient $\frac{u(x)}{v(x)}$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten $u(x)$ und $v(x)$ sind (siehe Abbildung). Wenn $x$ um $\mathrm{\Delta }x$ anwächst, ändert sich $u$ um $\mathrm{\Delta }u$ und $v$ um $\mathrm{\Delta }v$. Die Änderung der Steigung ist dann

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\left(\frac{u}{v}\right)& =\frac{u+\mathrm{\Delta }u}{v+\mathrm{\Delta }v}-\frac{u}{v}\\ & =\frac{(u+\mathrm{\Delta }u)\cdot v-u\cdot (v+\mathrm{\Delta }v)}{(v+\mathrm{\Delta }v)\cdot v}\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }u\cdot v-u\cdot \mathrm{\Delta }v}{v^2+\mathrm{\Delta }v\cdot v}\end{array}$

Dividiert man durch $\mathrm{\Delta }x$, so folgt

$\frac{\mathrm{\Delta }\left(\frac{u}{v}\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\cdot v-u\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}}{v^2+\mathrm{\Delta }v\cdot v}$.

Bildet man nun den Grenzübergang $\mathrm{\Delta }x\to 0$, so folgt

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$.

Weitere Herleitungen

Für $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$ gilt nach der Produktregel

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\frac{1}{v(x)}+u(x)\left(\frac{1}{v(x)}\right).\end{array}$

Mit der Kehrwertregel

$\left(\frac{1}{v(x)}\right)=-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

folgt hieraus nach elementaren Termumformungen

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}.\end{array}$

Eine alternative Herleitung gelingt allein mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung $f(x)\cdot v(x)=u(x)$. Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass $f(x)$ überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass $f^{\prime }(x)$ existiert.

$f^{\prime }(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)$

folglich:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{u^{\prime }(x)}{v(x)}-\frac{u(x)}{v(x)}\cdot \frac{v^{\prime }(x)}{v(x)}\\ & =\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}.\end{array}$

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Vorlage:Google Buch)
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Vorlage:Google Buch)

Weblinks

• Quotientenregel auf Wikibooks