Reguläre Untergruppe einer Lie-Gruppe

Reguläre Untergruppen einer Lie-Gruppe sind eine Klasse diskreter Untergruppen der Lie-Gruppe, die eine Reihe von Eigenschaften mit diskreten Untergruppen in Rang-1-Lie-Gruppen gemeinsam haben. (Insbesondere sind alle diskreten Untergruppen von Rang-1-Lie-Gruppen regulär.)

Sie sind von Bedeutung in Darstellungstheorie und Differentialgeometrie, unter anderem wird der Begriff verwendet bei der Untersuchung von Anosov-Darstellungen und Morse-Darstellungen. Insbesondere ist die Regularitätsbedingung Teil der Definition von RCA-Gruppen, welche in der Theorie von Gruppenwirkungen auf symmetrischen Räumen höheren Rangs den aus der Theorie Kleinscher Gruppen bekannten Begriff konvex-kokompakter Gruppen verallgemeinern.

Definition

Es sei $X=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Es sei $\mathrm{\Delta }\subset F$ eine fest gewählte Weyl-Kammer in einem maximalen Flach $F\subset X$. Zu jedem $x\in X$ gibt es einen eindeutigen Punkt

$\bar{x}\in \mathrm{\Delta }$

im $G$-Orbit von $x$.

Eine Folge $x_n\in X$ heißt regulär, wenn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(\overline{x_n},\partial \mathrm{\Delta })=\mathrm{\infty }$

gilt.

Eine diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ heißt regulär, wenn für jede Folge $({\gamma }_n\in \mathrm{\Gamma }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ein $x\in X$ die Folge

$x_n:={\gamma }_{n}x\in X$

regulär ist. (Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes $x\in X$.)

Sie heißt gleichmäßig regulär, wenn es ein $ϵ>0$ mit

$d(\overline{\gamma x},\partial \mathrm{\Delta })>ϵ\parallel \gamma x\parallel$

für alle $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ gibt. (Auch diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes $x\in X$.)

Lie-Theoretische Formulierung

Algebraisch lässt sich Regularität unter Benutzung der Cartan-Zerlegung $𝔤=𝔨\oplus 𝔭$ und der Exponentialabbildung $ex{p}_x:𝔭\to G/K=X$ wie folgt definieren.

Wähle eine Basis einfacher Wurzeln $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}\subset 𝔤$. Eine Folge $x_n\in X$ ist genau dann regulär, wenn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\alpha }_i(x_n)=\mathrm{\infty }$ für $i=1,\dots ,r$

gilt.

Beispiele

Wenn $X=G/K$ ein symmetrischer Raum vom Rang $rank(G/K)=1$ ist, dann ist jede diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ regulär; das folgt tautologisch aus $\partial \mathrm{\Delta }=\mathrm{\varnothing }$.

Einfache Beispiele regulärer Untergruppen für symmetrische Räume $X^{\prime }=G^{\prime }/K^{\prime }$ vom Rang $\ge 2$ erhält man mittels Lie-Gruppen-Homomorphismen $\varphi :G\to G^{\prime }$ einer Lie-Gruppe $G$ mit $rank(G/K)=1$. Für jede diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ist ihr Bild ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }:=\varphi (\mathrm{\Gamma })$ eine reguläre Untergruppe von $G^{\prime }$.

Es gibt zahlreiche weitere Beispiele regulärer Untergruppen. Potrie-Sambarino haben bewiesen, dass die Bilder aller Anosov-Darstellungen (insbesondere aller hyperkonvexen Darstellungen) reguläre Untergruppen von $PGL(d,ℝ)$ sind.

Literatur

• M. Kapovich, B. Leeb, J. Porti: Morse actions of discrete groups on symmetric spaces pdf