Rayleigh-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von $\sigma$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) oder Betragsverteilung 2. Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter $\sigma >0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x|\sigma )=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{{\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

$F(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

Eigenschaften

Momente

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

${\mu }_k={\sigma }^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)$,

wobei $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\mathrm{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}$.

Varianz

Die Varianz der Verteilung ist

$\mathrm{Var}(X)=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2$.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

$\frac{\mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi }}=\sqrt{\frac{\pi }{4-\pi }}\approx 1,91$.

Schiefe

Für die Schiefe erhält man

$\mathrm{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi }(\pi -3)}{(4-\pi {)}^{3/2}}\approx 0,6311$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

${\beta }_2(X)=-\frac{6{\pi }^2-24\pi +16}{(4-\pi {)}^2}\approx 0,2451$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

$\phi (t)=1-\sigma t{e}^{-{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i)$.

wobei $\mathrm{erf}(\cdot )$ die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

$M(t)=1+\sigma t{e}^{{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1)$,

wobei $\mathrm{erf}(\cdot )$ wiederum die Fehlerfunktion ist.

Entropie

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

$1+\ln \left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma }{2}$,

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Modus

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für $x=\sigma$, denn für $x\ge 0$ gilt

$0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\left(x\right)=\frac{e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}}{{\sigma }^2}-x^2\frac{e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}}{{\sigma }^4}⟺x=\sigma$.

Damit ist $\sigma$ der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat $f$ den Wert

$f\left(\sigma \right)=\frac{1}{\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}}$.

Parameterschätzung

Die Maximum-Likelihood-Schätzung von $\sigma$ aus Messwerten $x_1,\dots ,x_n$ erfolgt über:

$\sigma \approx \sqrt{\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$, dann ist $R^2$ Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden: $R^2\sim {\chi }_2^2$

Beziehung zur Weibull-Verteilung

$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}({\sigma }^2)=\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}(\frac{1}{2{\sigma }^2},2)$

Beziehung zur Rice-Verteilung

$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )=\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}(0,\sigma )$

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn $X$ exponentialverteilt mit $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$ ist, dann ist $Y=\sqrt{X}\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda }}\right)$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$, dann ist $\sum _{i=1}^N{R}_i^2$ gammaverteilt mit den Parametern $N$ und $2{\sigma }^2$: $Y=\sum _{i=1}^N{R}_i^2\sim \mathrm{\Gamma }(N,2{\sigma }^2)$.

Beziehung zur Normalverteilung

$\sqrt{X^2+Y^2}$ ist Rayleigh-verteilt, wenn $X\sim 𝒩(0,{\sigma }^2)$ und $Y\sim 𝒩(0,{\sigma }^2)$ zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.

Literatur

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