Chi-Verteilung

Die Chi-Verteilung bzw. $\chi$-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade $\nu$. Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

$f_{\nu }(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{(\nu /2)-1}\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{x}^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-x^2/2}& \text{für}x>0\\ 0& \text{sonst}\end{array},x\in ℝ$

heißt chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter $\nu$. Dabei bezeichnet $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden.

Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter $\nu \in \mathbb{N}$ definiert.

Eigenschaften

• Wenn $C_{\nu }$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist $\sqrt{C_{\nu }}$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
• Wenn $X_{\nu }$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist $X_{\nu }^2$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
• $X_{\nu }$ sei Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden, dann gilt $P(X_{\nu }>0)=1$, der Erwartungswert ist

$𝔼[X_{\nu }]=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}$

und die Varianz ist

$𝕍𝕒𝕣[X_{\nu }]=\nu -2{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}\right)}^2.$

• Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist $|Z|$ Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Beispiele

• Die Chi-Verteilung mit $\nu =1$ Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).
• Die Chi-Verteilung mit $\nu =2$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
• Die Chi-Verteilung mit $\nu =3$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
• Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist die auf $[0,\mathrm{\infty })$ gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Literatur

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