Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt $\mathrm{\Omega }=\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ sei. Jede der Mengen ${\mathrm{\Omega }}_i$ sei zudem mit einer σ-Algebra ${𝒜}_i$ versehen. Die Produkt-σ-Algebra von $({𝒜}_i{)}_{i\in I}$ (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

$\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i:=\sigma (\{{\pi }_i^{-1}(A_i)|i\in I,A_i\in {𝒜}_i\})$,

wobei ${\pi }_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i$ die Projektion auf die $i$-te Komponente bezeichnet. Das Paar

$(\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i,\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i)$

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie $(({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i){)}_{i\in I}$ bezeichnet wird.

Erläuterungen

Man nennt

${\pi }_i^{*}({𝒜}_i):=\{{\pi }_i^{-1}(A_i)|A_i\in {𝒜}_i\}=\{\left(\prod _{j\in I\setminus \{i\}}{\mathrm{\Omega }}_j\right)\times A_i|A_i\in {𝒜}_i\}$

auch Pullback-σ-Algebra.

Notationskonventionen

Ist $I=\{1,2\}$, so schreibt man häufig auch ${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2$ statt ${⨂}_{i=1}^2{𝒜}_i$.

Ist ${𝒜}_i=𝒜$ für alle $i\in I$, so verwendet man teilweise auch die Notation ${𝒜}^{\otimes I}$ für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt-σ-Algebra ${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2$ von einigen Autoren mit ${𝒜}_1\times {𝒜}_2$ bezeichnet.

Alternative Definitionen

Mittels messbarer Funktionen

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger ${ℰ}_i$ der σ-Algebren ${𝒜}_i$ überprüft werden muss, ergibt sich damit

$\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i=\sigma (\bigcup _{i\in I}{\pi }_i^{-1}({𝒜}_i))=\sigma (\bigcup _{i\in I}{\pi }_i^{-1}({ℰ}_i))$.

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der ${𝒜}_i$ die Initial-σ-Algebra $ℐ$ der ${\pi }_i$:

$ℐ({\pi }_i,i\in I)=\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i$.

Als Produkt von Familien

Fasst man zwei σ-Algebren ${𝒜}_1,{𝒜}_2$ als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren $𝒞:={𝒜}_1⊠{𝒜}_2$, so ist $𝒞$ wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2=\sigma ({𝒜}_1⊠{𝒜}_2)$.

Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren ${𝒜}_1$ und ${𝒜}_2$ im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist ${𝒜}_1\times {𝒜}_2$ ein Halbring und insbesondere $\cap$-stabil.

Für eine abzählbare (endliche oder abzählbar unendliche) Indexmenge $I$ gilt

$\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i=\sigma \left(\prod _{i\in I}^{\star }{𝒜}_i\right),$

wobei

$\prod _{i\in I}^{*}{𝒜}_i=\{\prod _{i\in I}{A}_i\mid (A_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{𝒜}_i\}$

aus kartesischen Produkten der Familie $({𝒜}_i{)}_{i\in I}$ gebildet ist. Das gewöhnliche kartesische Produkt $\prod _{i\in I}{𝒜}_i$ der Mengensysteme enthält als Elemente Mengenfamilien $(A_i{)}_{i\in I}$ mit $A_i\in {𝒜}_i$ für alle $i\in I$, während das Produkt ${\prod }_{i\in I}^{*}{𝒜}_i$ als Elemente kartesische Produkte $\prod _{i\in I}{A}_i$ mit $A_i\in {𝒜}_i$ für alle $i\in I$ enthält.

Zylindermengen

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

Beispiele

• Seien $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒜}_1)=(\{K,Z\},\{\mathrm{\varnothing },\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})$ und $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒜}_2)=(\{a,b\},\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\}\})$ zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:

${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2=\{\mathrm{\varnothing },\{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\}\}$

• Die Borelsche σ-Algebra auf ${ℝ}^n$ ist gleich der Produkt-σ-Algebra auf $(ℬ(ℝ){)}_{i\in \{1,\dots ,n\}}$, es gilt folglich:

$ℬ({ℝ}^n)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}ℬ(ℝ)$

Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art $\{A_1\times A_2\times \dots \times A_n|A_i\in ℬ(ℝ)\}$ enthält.

• Warnung: Sei $(E_i,{\tau }_i{)}_{i\in I}$ eine abzählbare Familie topologischer Räume, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, und $(E,\tau )$ deren topologisches Produkt, dann gilt

$\underset{i\in I}{⨂}ℬ(E_i)\subset ℬ(E).$

Erfüllen sie jedoch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann gilt

$\underset{i\in I}{⨂}ℬ(E_i)=ℬ(E).$

Anwendungen

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.