Polygammafunktion

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
Vorlage:Farbindex   Vorlage:Farbindex   Vorlage:Farbindex   Vorlage:Farbindex   Vorlage:Farbindex

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen ${\psi }_n(z)$ eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion $\ln \mathrm{\Gamma }(z)$ definiert sind. Dabei bezeichnet $\mathrm{\Gamma }(z)$ die Gammafunktion und $\ln$ den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$	${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi $\psi$ gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion $\psi (z)$ bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol ${\psi }_1$ (oder seltener ${\psi }^{(1)}$) und ist die zweite Ableitung von $\ln \mathrm{\Gamma }(z)$. Allgemein wird die $n$-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung $n$ mit ${\psi }_n$ oder ${\psi }^{(n)}$ bezeichnet und als die $(n+1)$-te Ableitung von $\ln \mathrm{\Gamma }(x)$ definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

${\psi }_m(z)=\frac{{\mathrm{d}}^{m+1}}{\mathrm{d}{z}^{m+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\psi (z)$

mit der Digammafunktion $\psi (z)$. Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{\mathrm{e}}^{-zt}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}\mathrm{d}t$

für $\mathrm{Re}z>0$ und $m>0.$

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

${\psi }_m(z+1)={\psi }_m(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-m-1}.$

Reflexionsformel

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

$(-1{)}^m{\psi }_m(1-z)-{\psi }_m(z)=\pi \frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{z}^m}\cot (\pi z).$

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist für $m>0$ gegeben durch

$\sum _{k=0}^{n-1}{\psi }_m\left(\frac{z+k}{n}\right)=n^{m+1}{\psi }_m(z).$

Zum Fall $m=0,$ also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

wobei $m>0$ und $z=-1,-2,-3,\dots$ eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion $\zeta (x,y)$ schreiben als

${\psi }_m(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen $m$ ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

${\psi }_m(z)=-\gamma {\delta }_{m,0}-\frac{(-1{)}^{m}m!}{z^{m+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}{\delta }_{m,0}-\frac{(-1{)}^{m}m!}{(z+k{)}^{m+1}}),$

wobei ${\delta }_{n,0}$ das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um $z=1$ ist gegeben durch

${\psi }_m(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

die für $|z|<1$ konvergiert. $\zeta$ bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie $\pi$, Quadratwurzel, Clausen-Funktion $\mathrm{C}\mathrm{l}(x)$, riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante $G$ sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

${\psi }_m(\frac{1}{2})=(-1{)}^{m+1}m!(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),m\in \mathbb{N}$

Allgemein gilt ferner:

${\psi }_m(1)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1),m\in \mathbb{N}$.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

$\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{x}^m}\tan x=\frac{{\psi }_m(\frac{1}{2}+\frac{x}{\pi })-(-1{)}^m{\psi }_m(\frac{1}{2}-\frac{x}{\pi })}{{\pi }^{m+1}}$.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^4}=\frac{1}{768}({\psi }_3\left(\frac{1}{4}\right)-8{\pi }^2).$

Verallgemeinerte Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion ${\psi }_s(z)$ eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte $s$ definiert ist. Diese hat für $s\ne 0,1,2,\dots$ die allgemeine Taylor-Entwicklung

${\psi }_s(1+z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-s-n)}({\zeta }^{\prime }(s+n+1)+(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}-\frac{1}{k-s-n-1})\zeta (s+n+1))\frac{z^n}{n!},$

gültig im Bereich $|z|<1$. Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für $s\in ℂ$ und $z\in ℂ\setminus -{\mathbb{N}}_0$ die Funktionalgleichung

${\psi }_s(z+1)={\psi }_s(z)+\frac{\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\mathrm{\Gamma }(-s)}{z}^{-(s+1)},$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

$\frac{\psi (-m)}{\mathrm{\Gamma }(-n)}=(-1{)}^{n-1}n!$

für ganzzahlige $m,n\ge 0$ ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche $n$ eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen $\zeta$-Funktion erhält man dann die Beziehung

${\psi }_s(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-s)}(\frac{\partial }{\partial s}+\psi (-s)+\gamma )\zeta (s+1,z)={\mathrm{e}}^{-\gamma s}\frac{\partial }{\partial s}\left({\mathrm{e}}^{\gamma s}\frac{\zeta (s+1,z)}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\right),$

welche die Funktionalgleichung erfüllt.

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

${\psi }_s\left(\frac{z}{2}\right)+{\psi }_s\left(\frac{z+1}{2}\right)=2^{s+1}{\psi }_s(z)+\frac{2^{s+1}\ln 2}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\zeta (s+1,z)$

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

${\psi }_s(z)=n^{-s-1}\sum _{k=0}^{n-1}{\psi }_s\left(\frac{z+k}{n}\right)-\frac{\ln n}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\zeta (s+1,z),$

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für $s\in \mathbb{N}$ enthält.

q-Polygammafunktion

Die $q$-Polygammafunktion ist definiert durch

${\psi }_n^q(z)=\frac{{\partial }^n{\psi }_q(z)}{\partial z^n}$.

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Siehe §6.4
• Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld, in functions.wolfram.com, in references.worlfram.com.