Parallelogramm

Ein Parallelogramm (von Vorlage:GrcS „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
• Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die Diagonalen halbieren einander.
• Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung).
• Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

• Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
• Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
• Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat (Satz von Thébault-Yaglom).

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.

Formeln

Mathematische Formeln zum Parallelogramm
Flächeninhalt	$A=a\cdot h_a=b\cdot h_b=\left||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}|\right|$ $A=a\cdot b\cdot \sin (\alpha )=a\cdot b\cdot \sin (\beta )=\frac{e\cdot f\cdot \sin (\theta )}{2}$ Über Transformation in ein Rechteck mit der Determinante: $A=\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_x& & b_x\\ a_y& & b_y\end{array}\right)=a_x\cdot b_y-b_x\cdot a_y$
Umfang	$U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)$
Innenwinkel	$\alpha =\gamma ,\beta =\delta ,\alpha +\beta =180^{\circ }$
Höhe	$h_a=b\cdot \sin (\alpha )$
	$h_b=a\cdot \sin (\beta )$
Länge der Diagonalen (siehe Kosinussatz)	$\begin{array}{cc}e& =\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\beta )}\\ & =\sqrt{a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}\end{array}$
	$\begin{array}{cc}f& =\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}\\ & =\sqrt{a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\beta )}\end{array}$
Parallelogrammgleichung	$e^2+f^2=2\cdot (a^2+b^2)$

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite $b$ mit der zugehörigen Höhe $h$.

Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen

Den Flächeninhalt $A$ des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

$\begin{array}{cccc}A& =& & (a_x+b_x)\cdot (a_y+b_y)-2\cdot (\frac{a_x\cdot a_y}{2}+b_x\cdot a_y+\frac{b_x\cdot b_y}{2})\\ & =& & a_x\cdot a_y+a_x\cdot b_y+b_x\cdot a_y+b_x\cdot b_y\\ & & -& a_x\cdot a_y-2\cdot b_x\cdot a_y-b_x\cdot b_y\\ & =& & a_x\cdot b_y-b_x\cdot a_y\end{array}$

Parallelogrammgitter

Parallelogrammgitter

Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.

Geometrische Figur	Quadrat	Rechteck	Raute	Parallelogramm
Bravais-Gitter	quadratisches Bravais-Gitter	rechtwinkliges Bravais-Gitter	zentriert-rechtwinkliges Bravais-Gitter	schiefwinkliges Bravais-Gitter
Kristallsystem	tetragonales Kristallsystem	orthorhombisches Kristallsystem	orthorhombisches Kristallsystem	monoklines Kristallsystem
Bild

Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

$\{(t_1\cdot \overrightarrow{u},t_2\cdot \overrightarrow{v})\in {ℝ}^2\mid \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {ℝ}^2\wedge t_1\in \mathbb{Z}\wedge t_2\in \mathbb{Z}\}$

geschrieben werden, wobei die Vektoren $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.

Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.

Konstruktion eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie die Höhe $h_a$ gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Höhe $h_a$. Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt $E$ frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.

Verallgemeinerungen

Parallelepiped

Eine Verallgemeinerung auf $n$ Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge $\{{\alpha }_1\cdot p_1+{\alpha }_2\cdot p_2+\cdots +{\alpha }_n\cdot p_n\mid 0\le {\alpha }_i\le 1\}$ sowie deren Parallelverschiebungen. Die $p_i$ sind dabei $n$ linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.

Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Satz von Varignon

Für jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm.

Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis:

Nach Definition gilt $\overline{AE}=\overline{EB},\overline{BF}=\overline{FC},\overline{CG}=\overline{GD},\overline{DH}=\overline{HA}$.

Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist $AC\parallel EF$. Ebenso zeigt man, dass $AC\parallel GH$, $BD\parallel FG$, und $BD\parallel HE$. Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist $EF\parallel GH$ und $FG\parallel HE$.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass $EF=GH$ und $FG=HE$ ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind.

Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.

Parallelogramme mit Quadraten

Figur 2

Figur 1

Gegeben sei ein Parallelogramm $ABCD$, über dessen Seiten Quadrate errichtet sind. Dann sind die Diagonalenschnittpunkte $E$, $F$, $G$ und $H$ der Quadrate Eckpunkte eines weiteren Quadrats. (Figur 1)

Beweis:

Die vier gelben Dreiecke $AEH$, $EFB$, $GFC$ und $HDG$ in Figur 2 stimmen in je zwei Seiten und dem jeweils eingeschlossenen (gelben) Innenwinkel bei $A$, $B$, $C$ und $D$ überein. Deshalb sind sie nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und damit alle Seiten des Vierecks $EFGH$ gleich lang. Da die Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind, ist $\mathrm{\angle }BEA$ ein rechter Winkel. Da die beiden (gelben) Winkel $\mathrm{\angle }HEA$ und $\mathrm{\angle }FEB$ gleich groß sind, muss auch $\mathrm{\angle }FEH$ ein rechter Winkel sein. Somit ist das Viereck $EFGH$ ein Quadrat.

Goldener Schnitt in Parallelogrammen

Figur 3: Flächenfüllung mit Dreiecksspiralen

Ein Parallelogramm, bei dem das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich dem Goldenen Schnitt $\mathrm{\Phi }$ ist, habe einen spitzen Innenwinkel von 60°. Die kürzere Seite habe o. B. d. A. die Länge 1.

Dann lassen sich zwei Folgen gleichseitiger Dreiecke jeweils so anordnen, dass jedes Dreieck der Folge durch eine Ecke seines Nachfolgers ebenfalls im Goldenen Schnitt geteilt wird. Weil das Parallelogramm punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen ist, sind die Grenzwerte der zu den beiden Folgen gehörigen Reihen identisch und füllen spiralförmig die gesamte Fläche des Parallelogramms aus. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Parallelogramme konvergieren hierbei gegen Null (Figur 3).

Ist h die Höhe auf der längeren Seite des Ausgangsparallelogramms, so hat jede der beiden Dreiecksspiralen die Flächenmaßzahl

$A=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Phi }\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Phi }\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\mathrm{\Phi }\sqrt{3}$.

Verwendung in der Technik

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

• 
  Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
• 
  Parallel-Scheibenwischer
• 
  Hubarbeitsbühne
• 
  Pantograph

Siehe auch

• Parallelepiped
• Parallelotop
• Antiparallelogramm

Literatur

• F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
• P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:Webarchiv. Abgerufen am 18. November 2016.
• Einführung in das Thema Parallelogramm. (PDF; 920 kB). Abgerufen am 18. November 2016.
• Vorlage:Webarchiv. Abgerufen am 18. November 2016.